2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ）
?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分
?at0af(x)dx（ ）
?A?曲边梯形ABCD面积. ?B?梯形ABCD面积. ?C?曲边三角形ACD面积.
?D?三角形ACD面积.
x （3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?B?y'''?y''?4y'?4y?0
?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
2（6）设函数f连续，若F(u,v)?D??f(x?y2)uvx2?y2dxdy，其中区域D?Fuv为图中阴影部分，则
?u? ?A?vf(u2) ?B?vuf(u2) ?C?vf(u) ?D?vuf(u)
（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆.
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
?D?E?A可逆，E?A不可逆.
（8）设A???12?21?，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） ??梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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）
??21?A????. ?1?2?
?2?1?B????. ??12??1?2??.
??21?1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?C???21??. ?12?
?D??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx?0?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z??232?x?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分9分）
求极限lim??sinx?sin?sinx???sinx. x?0x4(16)（本题满分10分）
?dxx?x(t)??2te?x?0?2y??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dt的解.求2. t2?xy??ln(1?u)du??xt?0?00?? (17)（本题满分9分）求积分 (18)（本题满分11分）
求二重积分
?1xarcsinx1?x20dx.
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D(19)（本题满分11分）
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积x?0,x?t，
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式. (20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a)
(2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明至少存在一点
23??(1,3),使得???(?)?0
（21）（本题满分11分）
求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）
22222?2a1?2a2a?设矩阵A???a2????，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,11??2a?n?n,xn?，
TB??1,0,,0?，
n（1）求证A??n?1?a；
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3， （1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求PAP.
?1梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！
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2008—数二真题、标准答案及解析
