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用思维导图突破解导数压轴题
《挑战压轴题?高中数学?精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者
特级教师文卫星
专题5 导数与不等式恒成立、有解（存在性）问题
函数不等式恒成立问题或不等式有解（存在性）等问题相联系来命题是近年高考常见题型之一，涉及导数知识可能会含有参数讨论。
恒成立问题常通过构造函数y=f(x)，转换为求y=f(x)在某个区间最值问题，这就需要确定y=f(x)导数的符号，为此，往往需要再次构造函数（以y=f(x)导函数中某个不能确定符号的代数式作为新构造函数的解析式），有时还需要分类讨论，分类讨论的标准一般用分析法求出，但解答时却用综合法书写（所以，不少情况下看不懂答案，即不知道分类标准怎么来的）。
有解（存在性）问题常转化为不等式??(??)≤??(??）有解，先求出不等式两边两个函数的最值（值域），根据具体条件确定最值之间的大小关系（或确定值域的包含关系），据此不等式（组）求出相关变量的范围。
如果含有双参数，可以把一个参数看作常数转化为一元变量求解。 此类问题解答思维导图如下： 其一
含双参的不等式恒成立、有解（存在性） 双参可视一常量 构造函数明方向 分类求导是难点 综分结合最理想 视其中一参数为常数转化单变量不等式、有解 其二
有解不等恒成立 对恒成立问题：针对对存在性：针对具体一式转化看两边 具体情况构造函数并问题构造不等式各自判断大和小 求导、判断单调区间??(??)≤??(??），根据相关方法要熟练 （有时可能需要多次 构造函数），以求最要求分别求两边的 值，有时要分类讨论最值（值域），然后 （难点），分类标准用确定最值之间的大 分析法，书写用综合小关系（值域的包含 法 关系）
引例 已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0. 3时，求函数f(x)的单调区间； 41x,??)均有f(x)?, 求a的取值范围. 2e2a （2）对任意x?[注：e?2.71828...为自然对数的底数. 公众号：高中资料共享 精品资料助你高考
思路点拨
第（1）求得f'?x?，判断其符号有多种方法。第（2）直接构造关于x的函数或参变分离正面求解a的取值范围比较困难。因此通过对x的赋值来缩小a的范围，x?1可以得到2简洁的结果，求解比较容易，f(1)?2?1，解得0?a?。即可将问题可转化为：当
42a0?a?2时，f(x)?alnx?1?x?x对?x?12是否恒成立？ 42ae
视a为主元，构造二次函数 满分解答
(1)当a??以x为主元 凑用基本不等式证明≤0 原 问 以为??1视a为主元 ，证明 视a为主元，构造“飘带”函数和“对勾”函数 ??(??)=?????????2??+ξ??+1，证明??(??）≤0 ξ??构造函数??1????=2??2?质证明??1????≥0 11ξ??ξ??+1?????????，利用不等式性主元 记其中，，证明 33时，f?x???lnx?x?1，函数的定义域为?0,???，且： 44x?3??4x?3??31?3x?1?2xf'?x??????，
4x2x?14xx?14xx?13x?1?2x??因此函数f?x?的单调递增区间是?3,???,单调递减区间是?0,3?.
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(2) （由于5种解法都给出太长，以下只给出一种解法，其余解法请见《挑战高考压轴题?高中数学》，华东师大出版社2020.9） 由f(1)?12，得0?a?， 2a4x21?x2x时，f(x)?，等价于2??2lnx?0，
aa42a当0?a?令t?1，则t?22，设g(t)?t2x?2t1?x?2lnx，t?22， a2?1?1?x?2lnx， 则g(t)?x?t?1?????xx??（i）当x??,???时，1??1?7??1?22， x则g(x)g(22)?8x?421?x?2lnx， 记p(x)?4x?221?x?lnx,则
x?1， 7p?(x)?2212xx?1?2x?x?1(x?1)[1?x(2x?2?1)]???? xxx?1xx?1xx?1(x?1)(x?1?2x)列表讨论：
x 1 71） （，17 1 （1，+∞） p′（x） ﹣ 0 + P（x） p（1） 7单调递减 极小值p（1） 单调递增
?p(x)p(1)?0,?g(t)g(22)?2p(x)0
?1??2xlnx?(x?1)?11?1???（ii）当x??2,?时，g(t)?g?， ??e7x2x????
专题05 导数与函数不等式恒成立、有解(存在性)(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题
