2024-2024数学北师大版选修1-1 第四章2.2 最大值、最小值问题(二) 作业1

[基础达标]

1.内接于半径为R的半圆中的矩形，周长最大的矩形边长为( ) R3545A.和R B.R和R 225547C.R和R D. 以上都不对 55解析：选B.设矩形一边长为x，则另一边长为2R2－x2，则l＝2x＋4l′＝2－

4xR2－x2

.令l′＝0，解得x1＝

R2－x2(0

5555

R，x2＝－R(舍去)．当00，当R

5545

R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R. 555

2

2.某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，产品单价的平方与产品件数x

75

成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )

A．25件 B．20件 C．15件 D．30件 时，l′<0，∴当x＝解析：选A.设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由

5002250

题知k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.总利润y＝500x－x3－1 200(x>0)，y′＝

75xx

2－x2. 25

由y′＝0，得x＝25，当x∈(0，25)时，y′>0；当x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．

3.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( ) A．R B．2R 43C.R D.R 34

解析：选C.设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，

1π2π

∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，

333344

V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R或h＝0(舍去)．

33

44R

当00；当

334

因此当h＝R时，圆锥体积最大．

3

4.如图，在等腰梯形ABCD中，CD＝40，AD＝40，梯形ABCD的面积最大时，AB等于( )

A．40 B．60 C．80 D．120

解析：选C.设∠BAD＝θ，则AB＝40＋2×40cos θ，梯形高h＝40sin θ.从而梯形面积S＝1 600(1＋cos θ)sin θ.

故S′＝1 600(cos θ＋cos 2θ)．

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1

令S′＝0，得cos θ＝－1(舍)，cos θ＝，

2

π

即θ＝，此时AB＝80，即当AB＝80时，梯形有最大面积1 2003.

3

5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( ) 3A.V 3

C.4V 则

3B.2V 3D．2V

解析：选C.设直棱柱的底面边长为a，高为h. 324Va·h＝V，∴h＝. 43a2

343V3

则表面积S(a)＝3ah＋a2＝＋a2.

2a2S′(a)＝－

43V3

＋3a.令S′(a)＝0，得a＝4V. 2a

33

当0＜a＜4V时，S′(a)＜0；当a＞4V时，S′(a)＞0. 3当a＝4V时，S(a)最小．

6.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为______米时，容器的容积最大．

解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x米， 则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)， V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，

解15x2－11x－4＝0，

4

得x＝1，x＝－(舍去)．

15

答案：1

7.电动车是现在比较流行的交通工具之一，电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下

139

关系：y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应为________．

32

解析：由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或40，由于040时，y′>0.所以，当x＝40时，y有最小值．

答案：40

1?2

8.已知函数f(x)＝xln x．若对于任意x∈??e，e?不等式2f(x)≤－x＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为________．

33

解析：由题意知，2xln x≤－x2＋ax－3，则a≥2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则

xx23（x＋3）（x－1）?1，1?时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，e]h′(x)＝＋1－2＝.当x∈?e?xxx2

1?13?1?2

时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．由h?＝－2＋＋3e，h(e)＝2＋e＋，h－h(e)＝2e－－4?e??e?eee

1??1，e?时，h(x)的最大值为h?1?＝－2＋1＋3e.故a≥－2＋1＞0，可得h?＞h(e)．所以当x∈?e??e??e?ee

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＋3e.

1

答案：[－2＋＋3e，＋∞)

e

9.一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

解：设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(8－2x) cm，宽为(5－2x) cm.

5

V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x(0

2

10

V′＝12x2－52x＋40，令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)．

3V极大值＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值， ∴Vmax＝18.

即小正方形边长为1 cm时，盒子容积最大为18 cm3.

10.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降价值x(单位：元，0≤x<9)的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．

(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

解：(1)依题意，设m＝kx2，由已知有5＝k·12，从而k＝5. ∴m＝5x2.

∴y＝(14－x－5)(75＋5x2)． ＝－5x3＋45x2－75x＋675(0≤x<9)．

(2)∵y′＝－15x2＋90x－75＝－15(x－1)(x－5)． 由y′>0得1

可知函数y在[0，1)上递减，在(1，5)递增，在(5，9)上递减， 从而函数y取得最大值的可能位置为x＝0或是x＝5. ∵y(0)＝675，y(5)＝800， ∴当x＝5时，ymax＝800.

所以商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．

[能力提升]

1.函数ln x≤xem2－m－1对任意的正实数x恒成立，则m的取值范围是( ) A．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．[0，1] C．[e，2e] D．(－∞，e)∪[2e，＋∞)

ln xln x

解析：选A.由题意知em2－m－1≥在(0，＋∞)上恒成立，设f(x)＝(x>0)，f′(x)＝

xx1－ln x1

，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)最大＝f(e)＝，∴em2－m2xe－1≥e－1，∴m2－m－1≥－1，即m2－m≥0，解得m≤0或m≥1.

2.要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为1∶2，那么长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．

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