高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换二练习人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换(二)

1.已知a=(1,cos α),b=(sin α,1),若a⊥b,则sin 2α等于( B ) (A)- (B)-1 (C) (D)1

解析:由题意可知,a·b=sin α+cos α=0,平方可得,sinα+cosα+ 2sin αcos α=0,所以sin 2α=2sin αcos α=-1.故选B.

2.(2024·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为( C ) (A) (B) (C)π (D)2π

解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C. 3.函数f(x)=sin x+cos(x+)的值域为( C ) (A)[-2,2] (B)[-,] (C)[-1,1] (D)[-,]

解析:函数f(x)=sin x+cos(x+)=sin x+cos x=sin(x+),所以值域为[-1,1],故选C. 4.函数f(x)=cosx-2cos的一个单调增区间是( A ) (A)(,) (B)(,) (C)(0,) (D)(-,)

解析:函数f(x)=cosx-2cos=cosx-cos x-1, 令t=cos x,则原函数可看作g(t)=t-t-1,t∈[-1,1]. 当t∈[-1,]时,g(t)为减函数, 当t∈[,1]时,g(t)为增函数, 当x∈(,)时,t=cos x为减函数,

且t∈(-,),而原函数是单调递增的,故选A.

5.设向量a=(cos x,-sin x),b=(-cos(-x),cos x),且a=tb,t≠0,则sin 2x的值等于( C ) (A)1 (B)-1 (C)±1 (D)0

解析:因为b=(-cos(-x),cos x)=(-sin x,cos x),a=tb,所以 cos xcos x-(-sin x)(-sin x)=0,即cosx-sinx=0,所以tanx=1, tan x=±1,x=+(k∈Z),2x=kπ+(k∈Z),sin 2x=±1,故选C.

6.若cos(α+β)·cos(α-β)=,则cosα-sinβ的值是( B )

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(A)- (B) (C)- (D)

解析:因cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,故cos(α+β)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ=cosα-cosαsinβ-sinαsinβ,即cos(α+β)cos(α-β)=cosα-(cosα+sinα)sinβ=cosα-sinβ=,故选B. 7.已知sin(α-)=,cos 2α=,则tan 等于( A ) (A)3 (B)-3

(C)±3 (D)±4

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解析:由sin(α-)=?sin α-cos α=①, cos 2α=?cosα-sinα=,

所以(cos α-sin α)(cos α+sin α)=②, 由①②可得cos α+sin α=-③, 由①③得sin α=,cos α=-, 所以角α为第二象限角, 所以为第一、三象限角, tan ===3,故选A.

8.已知不等式sin cos +cos--m≥0对于x∈[-,]恒成立,则实数m的取值范围是( B ) (A)(-∞,-] (B)(-∞,] (C)[,] (D)[,+∞)

解析:因为sin cos +cos-=sin +×-=sin(+),所以原不等式等价于m≤[sin(+)]min在x∈[-,]恒成立.因为≤+≤,所以sin(+)∈[,],所以m≤,故选B.

9.设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则 tan θ= . 解析:因为a∥b,

所以sin 2θ=cosθ,2sin θcos θ=cosθ, 又0<θ<,

所以2tan θ=1,即tan θ=. 答案:

10.(2024·全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 解析:因为sin α+cos β=1,① cos α+sin β=0,②

所以①+②得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1, 所以sin αcos β+cos αsin β=-,

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所以sin(α+β)=-. 答案:-

11.函数f(x)=sin(2x-)-2sinx的最小正周期是 .

解析:因为f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x-=sin(2x+)-,所以f(x)的最小正周期T==π. 答案:π

12.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .

解析:由于f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),因为函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)=sin(ω+)=±,所以ω+=+kπ,k∈Z,即ω=+kπ,k∈Z,又函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,所以ω+≤,即ω≤,取k=0,所以ω=,所以ω=. 答案:

13.已知函数f(x)=2cos(ωx+)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. (1)求ω的值;

(2)设α,β∈[0,],f(5α+π)=-,f(5β-π)=,求cos(α+β) 的值. 解:(1)由=10π,得ω=.

(2)因为-=f(5α+π)=2cos[(5α+π)+]=2cos(α+)=-2sin α, =f(5β-)=2cos[(5β-π)+]=2cos β, 所以sin α=,cos β=. 因为α,β∈[0,], 所以cos α===, sin β===.

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =×-×=-.

14.(2024·北京卷)已知函数f(x)=sinx+sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期;

(2)若f(x)在区间[-,m]上的最大值为,求m的最小值. 解:(1)f(x)=sinx+sin xcos x =-cos 2x+sin 2x =sin(2x-)+,

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所以f(x)的最小正周期为T==π. (2)由(1)知f(x)=sin(2x-)+. 由题意知-≤x≤m, 所以-≤2x-≤2m-.

要使得f(x)在区间[-,m]上的最大值为, 即sin(2x-)在区间[-,m]上的最大值为1. 所以2m-≥,即m≥. 所以m的最小值为.

15.已知函数f(x)=2cos-sin x.

(1)求函数f(x)的最大值,并写出取得最大值时相应的x的取值集合; (2)若tan =,求f(α)的值.

解:(1)f(x)=2cos-sin x=1+cos x-sin x =1+2cos(x+),

所以当cos(x+)=1时f(x)取得最大值3, 此时x+=2kπ,k∈Z,即x=2kπ-(k∈Z), 所以x的取值集合为(x|x=2kπ-,k∈Z). (2)因为tan =, 所以sin α=2sin cos= ===,

cos α=cos-sin===, 所以f(α)=1+2cos(α+) =1+cos α-sin α=1+-=.

16.已知函数f(x)=sin(ωx+2)-2sin cos(ωx+)(ω>0,∈R)在(π,)上单调递减,则ω的取值范围是( C ) (A)(0,2]

(B)(0,]

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(C)[,1] (D)[,]

解析:f(x)=sin(ωx+2)-2sin cos(ωx+)= cos sin(ωx+)-sin cos(ωx+)=sin ωx, 所以f(x)=sin ωx在(π,)上单调递减.

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令+2kπ≤ωx≤+2kπ,k∈Z,得 +≤x≤+,k∈Z,

所以函数f(x)=sin ωx的一个单减区间为[,], 可得即≤ω≤1,ω的取值范围是[,1],故选C.

17.已知函数f(x)=sinx+cosx,x∈[-,],若f(x1)x2 (C)<

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(D)>

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解析:因为f(-x)=sinx+cosx=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|), 因为f(x1)

又f(x)=sinx+cosx=(sinx+cosx)-2sinx·cosx=1-sin2x= 1-·=+,在[0,]单调递减,所以|x1|>|x2|,所以>,故选D.

18.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2之间的距离是1,l2与l3之间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长等于 .

解析:设其边长为a,AB与l2的夹角为θ,易知1=asin θ,2= asin(-θ), 所以2sin θ=sin(-θ),即cos θ-sin θ=0, 可得tan θ=,所以sin θ=, 所以a==. 答案:

19.关于函数f(x)=sin xcos x-cosx,给出下列命题: ①f(x)的最小正周期为2π; ②f(x)在区间(0,)上为增函数;

③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴;

④函数f(x)的图象可由函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到; ⑤对任意x∈R,恒有f(+x)+f(-x)=-1. 其中正确命题的序号是 .

解析:f(x)=sin 2x-=sin(2x-)-,显然①错;x∈(0,)时,2x-∈(-,0),函数f(x)为增函数,故②正确;令2x-=+kπ,k∈Z,得x=π+,k∈Z,显然直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,故③正确; f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位得到

y=sin 2(x-)= sin(2x-),故④

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错;f(+x)+f(-x)=sin(2x+)-+sin(-2x-)- =sin(2x+)- sin(2x+)-1=-1,故⑤正确. 答案:②③⑤

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