[考研类试卷]考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试
卷2
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 已知P-1AP=
（A）[α1，-α2，α3]．
，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵
A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
（B）[α1，α2+α3，α2-2α3]．
（C）[α1，α3，α2]．
（D）[α1+α2，α1-α2，α3]．
2 设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )
（A）λ-1｜A｜
（B）λ-1｜A｜
（C）λ｜A｜
（D）λ｜An｜
3 已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )
（A）必是A的二重特征值．
（B）至少是A的二重特征值．
答案见麦多课文库
（C）至多是A的二重特征值．
（D）一重、二重、三重特征值都有可能．
4 设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵
( )
5 三阶矩阵A的特征值全为零，则必有( )
（A）秩r(A)=0
（B）秩r(A)=1
（C）秩r(A)=2
（D）条件不足，不能确定
6 设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )
（A）λE-A=λE-B
（B）A与B有相同的特征值和特征向量．
（C）A和B都相似于一个对角矩阵．
（D）对任意常数t，tE-A与tE-B相似．
7 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )
（A）充分必要条件．
（B）必要而非充分条件．
答案见麦多课文库
有一特征值等于
（C）充分而非必要条件．
（D）既非充分也非必要条件．
二、填空题
8 设A是3阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T，则特征值2对应的特征向量是______
9 设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________
10 设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵
必有一个特征值为
_________
11 若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为_______
12 设α=(1，-1，a)T是A=r(A*)=3，则a=__________
的伴随矩阵A*的特征向量，其中
13 已知矩阵A=b=________
的特征值的和为3，特征值的乘积是-24，则
14 设A=
三、解答题
有二重特征根，则a=________
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15 设矩阵A与B相似，且A=
1
求可逆矩阵P，使P-
AP=B
16 设A=
，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第一列为
，求a，Q．
17 已知A是3阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A4+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)．
18 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1-α2+α3，Aα2=4α1-3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．
19 设A是n阶矩阵，A=E+xyT，x与y都是n×1矩阵，且yTx=2，求A的特征值、特征向量．
20 设矩阵A=否可相似对角化．
的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是
21 已知A=
，求可逆矩阵P，化A为标准形A，并写出对角矩阵A
22 已知矩阵A与B相似，其中A=使P-1AP=B
．求a，b的值及矩阵P，
23 已知A=
，A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量．
答案见麦多课文库
24 已知A
可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵，使P-1AP=A
25 设矩阵A=
随矩阵，求a，b的值．
是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴
26 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α=3(-1，2，-3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．
答案见麦多课文库
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