[学业水平训练]
1．(2013·高考课标全国Ⅱ)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( ) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i
?1＋i?2i2i·
解析：选A.由题意得z＝＝＝－1＋i.
21－i
2
2．(2014·杭州高二检测)若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )
1＋i
2A. B.2 2
C．3 D．2
2?1－i?2
解析：选B.由题意，得z＝2i＋＝2i＋＝1＋i，复数z的模|z|＝12＋12＝
1＋i?1＋i??1－i?2.
?1＋2i?2
3．复数z＝对应的点在复平面的第( )象限．
1－i
A．四 B．三 C．二 D．一
2
?1＋2i?－3＋4i
解析：选C．z＝＝ 1－i1－i
?－3＋4i??1＋i?＝
?1－i??1＋i?－7＋i71＝＝－＋i，
222
故z对应的点在复平面的第二象限．
7＋i
4．(2014·高考天津卷)i是虚数单位，复数＝( )
3＋4i
A．1－i B．－1＋i
17311725C．＋i D．－＋i
252577
7＋i?7＋i??3－4i?25－25i
解析：选A.＝＝＝1－i，故选A.
253＋4i?3＋4i??3－4i?
2
5．(2014·咸阳高二检测)下面是关于复数z＝的四个命题，其中真命题为( )
－1＋i
p1：|z|＝2； p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i； p4：z的虚部为－1. A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
2?－1－i?2
解析：选C．z＝＝ －1＋i?－1＋i??－1－i?
－2－2i＝＝－1－i，
2
所以|z|＝2，z的虚部为－1， 所以p1错误，p4正确． z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，
所以p2正确．
z的共轭复数为z＝－1＋i，
所以p3错误．所以选C．
－5＋10i
6．i是虚数单位，＝________(用a＋bi的形式表示，其中a，b∈R)．
3＋4i
－5＋10i?－5＋10i??3－4i?解析：＝ 3＋4i?3＋4i??3－4i?－15＋20i＋30i＋40＝＝1＋2i.
9＋16
答案：1＋2i
2－ai
7．(2014·上海高二检测)已知复数＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋
i
bi|＝________.
2－ai
解析：由＝1－bi，得
i
2－ai＝i(1－bi)＝i－bi2＝b＋i， 所以b＝2，－a＝1， 即a＝－1，b＝2，
所以|a＋bi|＝|－1＋2i|＝5. 答案：5
z18．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
z2
z1解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，
z2
所以z1＝bi·z2，
即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.
??a＝4b，8所以?所以a＝.
3?2＝3b，?
8
答案： 39．计算：
13
(1)(1－i)(－＋i)(1＋i)；
22
2＋3i(2)；
3－2i(3)(2－i)2.
13
解：(1)法一：(1－i)(－＋i)(1＋i)
22
1313＝(－＋i＋i－i2)(1＋i)
22223－13＋1＝(＋i)(1＋i)
223－13＋13－13＋12＝＋i＋i＋i
2222＝－1＋3i.
13
法二：原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)
22
13
＝(1－i2)(－＋i)
22
13＝2(－＋i)
22＝－1＋3i. 2＋3i?2＋3i??3＋2i?(2)＝
3－2i?3－2i??3＋2i??2＋3i??3＋2i?＝ ?3?2＋?2?26＋2i＋3i－6＝ 5
5i＝＝i. 5
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i. 10．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数． (1)求复数z.
z
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
2＋i
解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i. 因为(1＋3i)·z为纯虚数，
所以3－3b＝0，且9＋b≠0， 所以b＝1，所以z＝3＋i.
3＋i?3＋i?·?2－i?7－i71(2)w＝＝＝＝－i，
5552＋i?2＋i?·?2－i?
71
所以|w|＝ ??2＋?－?2
55
＝2.
[高考水平训练]
2
z－2z
1．已知复数z＝1－i，则＝( )
z－1
A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：选B.法一：因为z＝1－i，
z2－2z?1－i?2－2?1－i?－2所以＝＝＝－2i.
z－11－i－1－i法二：由已知得z－1＝－i，
z2－2z?z－1?2－1从而＝
z－1z－1?－i?2－12＝＝＝－2i.
i－i
z12．若复数z1＝－1＋ai，z2＝b－3i，a，b∈R，且z1＋z2与z1·z2均为实数，则＝________.
z2
解析：因为z1＝－1＋ai，z2＝b－3i， 所以z1＋z2＝b－1＋(a－3)i，z1·z2＝3a－b＋(3＋ab)i. 因为z1＋z2与z1·z2均为实数，
?a－3＝0，?a＝3，所以?解得?
b＝－1.??3＋ab＝0，
所以z1＝－1＋3i，z2＝－1－3i， ?－1＋3i?2z1－1＋3i所以＝＝
z2－1－3i?－1－3i??－1＋3i?
复数代数形式的乘除运算习题
