[学业水平训练]
1.(2013·高考课标全国Ⅱ)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i
?1+i?2i2i·
解析:选A.由题意得z===-1+i.
21-i
2
2.(2014·杭州高二检测)若复数z=2i+,其中i是虚数单位,则复数z的模为( )
1+i
2A. B.2 2
C.3 D.2
2?1-i?2
解析:选B.由题意,得z=2i+=2i+=1+i,复数z的模|z|=12+12=
1+i?1+i??1-i?2.
?1+2i?2
3.复数z=对应的点在复平面的第( )象限.
1-i
A.四 B.三 C.二 D.一
2
?1+2i?-3+4i
解析:选C.z== 1-i1-i
?-3+4i??1+i?=
?1-i??1+i?-7+i71==-+i,
222
故z对应的点在复平面的第二象限.
7+i
4.(2014·高考天津卷)i是虚数单位,复数=( )
3+4i
A.1-i B.-1+i
17311725C.+i D.-+i
252577
7+i?7+i??3-4i?25-25i
解析:选A.===1-i,故选A.
253+4i?3+4i??3-4i?
2
5.(2014·咸阳高二检测)下面是关于复数z=的四个命题,其中真命题为( )
-1+i
p1:|z|=2; p2:z2=2i;
p3:z的共轭复数为1+i; p4:z的虚部为-1. A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4
2?-1-i?2
解析:选C.z== -1+i?-1+i??-1-i?
-2-2i==-1-i,
2
所以|z|=2,z的虚部为-1, 所以p1错误,p4正确. z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,
所以p2正确.
z的共轭复数为z=-1+i,
所以p3错误.所以选C.
-5+10i
6.i是虚数单位,=________(用a+bi的形式表示,其中a,b∈R).
3+4i
-5+10i?-5+10i??3-4i?解析:= 3+4i?3+4i??3-4i?-15+20i+30i+40==1+2i.
9+16
答案:1+2i
2-ai
7.(2014·上海高二检测)已知复数=1-bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+
i
bi|=________.
2-ai
解析:由=1-bi,得
i
2-ai=i(1-bi)=i-bi2=b+i, 所以b=2,-a=1, 即a=-1,b=2,
所以|a+bi|=|-1+2i|=5. 答案:5
z18.设z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.
z2
z1解析:设=bi(b∈R且b≠0),
z2
所以z1=bi·z2,
即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.
??a=4b,8所以?所以a=.
3?2=3b,?
8
答案: 39.计算:
13
(1)(1-i)(-+i)(1+i);
22
2+3i(2);
3-2i(3)(2-i)2.
13
解:(1)法一:(1-i)(-+i)(1+i)
22
1313=(-+i+i-i2)(1+i)
22223-13+1=(+i)(1+i)
223-13+13-13+12=+i+i+i
2222=-1+3i.
13
法二:原式=(1-i)(1+i)(-+i)
22
13
=(1-i2)(-+i)
22
13=2(-+i)
22=-1+3i. 2+3i?2+3i??3+2i?(2)=
3-2i?3-2i??3+2i??2+3i??3+2i?= ?3?2+?2?26+2i+3i-6= 5
5i==i. 5
(3)(2-i)2=(2-i)(2-i)=4-4i+i2=3-4i. 10.已知复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)·z为纯虚数. (1)求复数z.
z
(2)若w=,求复数w的模|w|.
2+i
解:(1)(1+3i)·(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i. 因为(1+3i)·z为纯虚数,
所以3-3b=0,且9+b≠0, 所以b=1,所以z=3+i.
3+i?3+i?·?2-i?7-i71(2)w====-i,
5552+i?2+i?·?2-i?
71
所以|w|= ??2+?-?2
55
=2.
[高考水平训练]
2
z-2z
1.已知复数z=1-i,则=( )
z-1
A.2i B.-2i C.2 D.-2 解析:选B.法一:因为z=1-i,
z2-2z?1-i?2-2?1-i?-2所以===-2i.
z-11-i-1-i法二:由已知得z-1=-i,
z2-2z?z-1?2-1从而=
z-1z-1?-i?2-12===-2i.
i-i
z12.若复数z1=-1+ai,z2=b-3i,a,b∈R,且z1+z2与z1·z2均为实数,则=________.
z2
解析:因为z1=-1+ai,z2=b-3i, 所以z1+z2=b-1+(a-3)i,z1·z2=3a-b+(3+ab)i. 因为z1+z2与z1·z2均为实数,
?a-3=0,?a=3,所以?解得?
b=-1.??3+ab=0,
所以z1=-1+3i,z2=-1-3i, ?-1+3i?2z1-1+3i所以==
z2-1-3i?-1-3i??-1+3i?
复数代数形式的乘除运算习题
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