来了出行便利， 还缓解了小区周围的道路压力， 但是从另外的一个方面 来说，当小区车道的饱和系数低于 0.5 的情况下， 就会造成不必要的道路收益障 碍，因此，确定一个小区，就必须得根据小区的地理位置，小区的结构因素，考 虑小区的开放程度和当地小区的车流量的大小等方面综合性的对小区进行开放。 5.2. 问题二
1）模型准备 我国传统的工作和生活模式，决定了中国的城市，方格网络宽大，存在大量 封闭式的居住区和住宅单位。很多的小区都有边界，成为了一个个独立的块儿， 然而，各个出入口只能本小区的居民进出， 外界人员不得随意进出。 同时这些小 区内部的道路不能被外界所共用。 当小区出现阻断主交通干道的时候如果可以借 鉴国外的城市规划经验。 将小区道路进行开放式管理， 使得小区里面的路和外面 的城市主干道相连接， 或许可以达到目的， 改善小区周边道路结构甚至改善整个 城市的交通。这也是这个题目的模型研究目的所在。
将小区内部的道路，周边的道路结构抽象成一个交通网络，那么点对之间， 会有好几条长度相近的路径，以及一条甚至多条最优路径。如果此种情况存在， 那么就可以说这个交通网络交通变得比原先方便了。 首先对于小区内的出行者来 说，他们可以跟随自己的心情，选择他们想要的出行方式。其次，当小区周边的 道路出现堵车或者堵塞时， 出行者将有多的路线选择， 交通管理者也有更多的疏 通交通的方式了。
所以如果封闭性小区开放之后对周边道路带来的改善程度由可替代路径的 数量和长度体现。 下文主要建立数学模型， 将小区抽象成方格网络。 来研究其中 某一段路的最短路径的计数问题。 2） 模型建立
在我国的传统城市小区中，小区的规划大多数是以方格的形状为主，因此， 我们选取方格形状作为小区开放的分析模型更加的符合普遍性和实际意义。
在小区规格一定的情况下，车辆通行的路径数量是影响车辆通行的主要因 素。我们将方格图（见图2）上面的方格都视为方形小区，这样的话，在许多对 点之间存在的许多路径长度一条最优路径代替之前交通堵塞的那条路径，所以， 一个小区的可供选择最优路相同的路径，这样的小区即便在周围的道路交通拥堵 的情况之下，仍然可以选择径数量，即可以表示影响小区周围道路交通的一个重 要指标。
图2方格小区示意图
然后，首先对方格网络点对间的分析：将其抽象成边长为 1的，方格状的网
络，此网格有x列，y行。假设小区是正方形小区，而且位置不确定，面积也是 任意的。
Luv（a,b）表示所研究的小区,u, v 是Luv下方节点的位置，a是列节点数, b是横节点数，若
L
uv
（a
，不存在，NS\）为从最优路径数量，若
b）
L
uv
（a
，存 在NgpCwk）为最优路
b）
径数量,
点对之间交便捷度方形小区影响因子的定义如下。
⑹
［］
由于方形小区的诸多因素存在，所以小区内的最优路径随时都有减少的的可 能，。
那么减少的数量与原来数量的比值就可以使用这个公式来衡量，仍然可 以找出起点与终点之间的最合适的路径，即更便捷的交通路线，不过即使对于相 同位置的小区，也需要分类讨论，因为起点不一样，路径和结果也有可能完全不 同。
网络交通便捷的影响因子：
方形小区改造之后对方格网络交通带来的改善，需要从部分和全局上来综合 考虑，这两个指标正好可以用过计算与讨论得出某一交通便捷影响因子的值， 研究位置不相同和面积不相同的小区时，也可以利用这个结论来分析影响。 3） 模型求解
根据路径分析，由数学归纳法可得： 由此可以给出如下结论：
在n + 1列、m + 1行，每条边长为1的方格道路上，从％ 到Vmn的最优路
当
（m n）! 径数量为m!n!条
这种求解方法可以求得方格交通网络中任意个点对之间最优路径的数量。 时需要满足切和如是任意两点，且不在交通网络上的同一条路径，有结论：
此
N(Vji,v)
Vji
(I
「1|- 旷
k|)!
和Vik在位于同一条路径，那么最优路径数量为i （在两点之间）。
以上的求解过程可以说明，小区开放之后，出行者，如果在行进过程中遇到 了较大的
交通堵塞或者红灯，他可以在小区内部拥有多条路径代替原来的路径行 进，而大部分情况下最优路径会在众多路径中找到。
根据点对之间影响因子，和
网络交通便捷度影响因子的结论，可得一些方形小区的结论：
1） ：点对点和交通网络便捷度与方新小区的面积有关，方形小区的面积越 大，点对点的影响越小，点对间的影响度越大，影响因子值越大。
2） :方形小区
Lji（a，b）
的对角线中点越靠近连接点对的直线，贝U该小区对该 点对的
［9］
交通便捷度影响因子越大。53问题三
为了研究小区开放之后带来的影响，我们需要选取实际小区进行模型检验。 然而由于客观条件限制，无法亲自调查获取数据，所以查找资料选取长沙市区的 道路交通情况（来源于参考文献）前后的实际数据，对我们第二问的模型的检验。
根据参考文献，
［10］
所选取的长沙市区的小区的南北长约 810米，东西长约
230米。如果要对小区进行开放进行规划研究，明显的知道，南北的长度和东西 长度相比较，南北长度大概是东西长度的 3.5倍。小区主要是存在于城市，小区 开放之后，小区中的道路则为城市道路之路， 根据城市规划的内容，城市支路的 间隔大概在150m到200m之间。所以，最合理的小区开放是南北通路为一条， 东西通路为两条。即：
图3 封闭小区示意图
图4 小区开通a路段
L(jJ)
L(jiJ
图5开通小区be段 图6开通小区abc路段
根据最优路径分析，当点对之间是在一条路径上的时候，他们之间只有一条 最优路径。当对点之间不是直线的时候，从 Vji到Vlk的最优路径的条数满足一个 关系式： 因此，我们可以分析：
当只增加一条路段a的时候，最优路径数原先两条，现在 a道路通行之后, 最优路径数增加了 1条，如图5所示；这样一来，当道路上发生拥堵或者是紧急 事件之类的时候，增加了道路通行的便捷能力，略微的改变了交通状况。
当b，c都通路的时候，最优路径数从两条增加到了
4条（如图4所示），
交通的压力减缓程度的道路大幅度的提升，提高了网路交通的运行效率。
当a，b，c道路都通路的时候，最优路径增加到了 10 （如图6所示）。
综上，我们可以明显的看出，当小区通行的数量不断增加的时候，就对于交 通车辆通行的角度上来说，小区开通能明显的增加小区周围交通道路的通行能 力，提高了车辆通行的便捷能力，减缓了小区周围的车道的压力。
表3路径影响因素分析表
增加路段 小区全封闭 增加a路段 增加b,c路段 增加a,b,c路段
最优路径数量
2 3 4 10
80% 70% 60% .0
在上述的分析当中，我们只考虑了道路增加了一条或者两条的时候所带来的 道路通行效率。而在实际生活中，小区中许多的小区道路去打通， 小区每一栋楼 下面就是马路，所以用路径分析去分析开放小区之后所带来的交通效益更具有实 际意义。
因此，我们构建一个小区（如图 7 所示）在每栋楼楼下都是马路的情况下分 析小区开放所带来的道路通行的效益。
图 7 构建小区示意图 构建的小区模型如图所示，有东西南北四
个大门，当分析实际的路径情况， 当从a到b的时候，当小区没有开通之前，如果不经过
小区，那么最优路径数为
2。当以小区的中心为出发点，开通1C这两条道路的时候，a到b的最优路径数 为 3。当小区的开通路径为不重复的两条路径时，小区的最优路径数为
4。
若是按照如此分析，小区最后的路径数与所选取的位置点有关。但是满足上 述的影响因子的方程：
因此，从构建的小区模型来说，当小区的开放程度越高，最后最优路径数越 大。那么道路的便捷程度越大，对开放小区周围路段的道路缓解也就最大。
评价： 我们采用道路通行影响因子的模型，对道路通行的实际情况作出了分析，最 终我们得出了， 当道路通行的道路越多时， 车辆行驶的便捷程度越大， 越有利于 缓解交通的压力，这也是小区开放之后所带来的好处。 5.4. 问题四
由前三问的各个模型综合分析， 可以得出某些路段的大型封闭小区的开放对 道路通行是有缓解作用的。 以开放小区为前提， 我们提出以下几方面规划与管理 建议：
1） 将封闭型小区建设到开放的过程中，由于小区多为方形结构，因此将小 区主路设置成弯曲型是不合理的， 为简化起见，我们将小区内道路设计成直线型， 并且宽度要足够两辆消防车双向行驶。
2） 考虑到小区主路将与城市道路彻底连结，为避免开放小区的不恰当出口 线行带来的 “缓解”交通的功能失效， 我们应当在小区主路至少设置两个带有缓 冲路段的出口与外界相连。 同时考虑到居民出行方便与安全， 在各临近小区出入 口处至少设置一个流动警车停靠点。
3） 在小区内部设置更多的健身、娱乐设施， 并在相应的小区内部宣传交通 行车法规的同时， 鼓励居民组织“交通督察组织” ，以提高居民的出行交通素质， 间接提高小区周边的交通通行能力。
4） 小区园林规划不再只是物业管理、居民的责任，而应有环保部门的加入。 在小区的校园、医疗机构附近增加绿化与噪音隔离带，既保障了居民生活体验， 也间接提高了行车驾驶员驾车的舒适度，降低事故发生率。
六、对模型的评价
本文之所以将交通网络， 抽象成方格网络是因为： 方格布局是国内分布最广， 最具有典型代表性的城市小区结构， 研究方格型的网络结构， 比较有代表性的意 义，这些小区四面有围墙，大门不对外开放，内部的道路无法被外界所利用，外 人不能在小区道路中驾驶车辆， 所以站在交通便捷的角度， 本文通过寻找封闭性 小区内可替代的最优路径入
手， 通过建立数学模型， 分析并寻找小区内的最优路 径，并通过点队之间的影响因子的定义与计算， 在将其应用到西安市某小区， 与 构建的小区上实现检验， 最终结论是小区的开放必将是一种趋势， 但是确定一个 小区，就必须得根据小区的地理位置， 小区的结构因素， 考虑小区的开放程度等 方面综合性来对小区进行开放。 本文提供的模型只是研究了单个小区， 在周边道 路为简单的直线情况下， 对各个因子与因素的影响， 并且没有实地检测， 与实际 观测数据， 所以本文只能作为一个参考， 还需要更多方面与更深层次的分析与研 究。
参考文献
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2016数学建模国赛B题 - 图文
