2024年全国高考新课标1卷理科数学试题
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若z=1+i，则|z2–2z|=( )
A．0 B．1 C．2 D．2
2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=( )
A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视
为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
5?15?15?15?1A． B． C． D．
42424．已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴
的距离为9，则p=( ) A．2 B．3 C．6 D．9
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关
系，在20个不同的温度条件下 进行种子发芽实验，由实验数据 (xi. yi)(i=1,2,···,20)得到散点图：
C至40°C之 由此散点图，在10°
间，下面四个回归方程类型中最 适宜作为发芽率y和温度x的回 归方程类型的是( )D A．y=a+bx B．y=a+bx2 C．y=a+bex D．y=a+blnx 6．函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1, f(1))处的切线方程为( )
A．y=-2x-1 B．y=-2x+1 C．y=2x-3 D．y=2x+1
?7．设函数f(x)=cos(?x+)在[-?,?]的图像大致如下图，
6则f(x)的最小正周期为( )
7?4?3?10?A． B． C． D．
6329y28．(x?)(x?y)5的展开式中x3y3的系数为( )
xA．5 B．10 C．15 D．20
9．已知?∈(0,?)，且3cos2?-8cos?=5，则sin?= ( )
2155A． B． C． D．
3339
1
10．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为?ABC的外接圆，若⊙O1的面
积为4?，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( ) A．64? B．48? C．36? D．32?
11．已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作
|AB|最小时，直线AB的方程为( ) ⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|·
A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0 C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=0 12．若2a+log2a=4b+2log4b，则( )
A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． ?2x?y?2?0,?13．若x,y满足约束条件?x?y?1?0,则z=x+7y的最大值为 . ?y?1?0,?14．设为a，b单位向量，且|a+b|=1，则|a-b|= . x2y215．已知F为双曲线C：2?2?1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C ab上的点，且BF垂直于x轴. 若AB的斜率为3，则C的离心率为 . 16．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=3， AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。 17．（本小题满分12分） 设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2,a3的等差中项. (1)求{an}的公比； (2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和． 18．（本小题满分12分） 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD． ?ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO?(1)证明：PA⊥平面PBC; (2)求二面角B-PC-E的余弦值． 2 6DO. 6 19．（本小题满分12分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 20．（本小题满分12分） x2已知A、B分别为椭圆E：2?y2?1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点， aAG?GB?8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交 12点为D. (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点. 3 21．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性; 1(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围. 2 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22．[选修4–4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分） k??x?cost,(t为参数)． 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?k??y?sint以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程 为4? cos? -16? sin?+3=0. (1)当k=1时，C1是什么曲线？ (2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标． 23．[选修4–5：不等式选讲] （本小题满分10分） 已知函数f(x)=|3x+1| - 2|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像； (2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集. 4 2024年全国高考新课标1卷理科数学试题参考答案 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分． DBCCD BCCAA DB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 113．1 14．3 15．2 16．? 4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。只做6题，共70分。 17．解：(1)设{an}的公比为q，依题2a1=a2+a3， 即2a1=a1q+a1q2. …3分 所以q2+q-2=0， 解得q=1 (舍去)或q=-2， ∴{an}公比为-2. …6分 (2)由(1)知an=(-2)n-1， 设Sn为{nan}的前n项和，所以 Sn=1+2×(-2)+ 3×(-2)2+···+n×(-2)n-1， …8分 -2Sn =-2+2×(-2)2+ 3×(-2)3+···+n×(-2)n. ··+(-2)n-1-n×(-2)n …10分 相减得3Sn=1+(-2)+ (-2)2+· 1?(?2)n1?(3n?1)(?2)n1?(3n?1)(?2)nn∴3Sn=，∴Sn=，…12分 ?n?(?2)?339 18．解：(1)设DO=6，依题PO=6，又AE=AD=2AO． =23， ∴∠ADO=30°，∴AO=DOtan30° =6. …3分 ∴PA=PB=PC=6?12?32，又AB=AC=BC=2AOsin60° 从而PA2+PB2=AB2，∴PA⊥PB. 同理PA⊥PC. 又PB∩PC=P，∴PA⊥平面PBC. …6分 (2)如图建立空间直角坐标系O-xyz. 由(1)知 P(0,0,6)，A(0,-23,0)，C(-3,3,0)，E(0,23,0)， 平面PBC的法向量为PA?(0,?23,?6) …8分 又PE?(0,23,?6),CE?(3,3,0) 设平面PCE的法向量为u?(x,y,z) ??23y?6z?0?u?PE?，设y=3，解得u?(?1,3,6)， …10分 则????u?CE??3x?3y?0??cos?u,PA??u?PA|u||PA|?25?6?625??，∴所求二面角的余弦值为. 5510?32 …12分 5
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