一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E。
（1）求证：DC2＝CE·AC；
（2）若AE＝2EC，求 之值；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝ 求EC之长.
【答案】（1）证明：∵CD＝BC，∴∠DAC＝∠CDB，又∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE， ∴
，∴DC2＝CE·AC；
，
（2）解：设EC＝k，则AE＝2k，∴AC＝3k，由（1）DC2＝CE·AC＝3k2 ， DC=
k，连接OC，OD，
∵CD＝BC，∴OC平分∠DOB，∴BC＝DC＝ ∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中， ∴OB=OC=OD=
k，
，
k，∴∠BOD＝120°，∴∠DOA＝60°，∴AD＝AO，∴
（3）解：∵CH是⊙O的切线，连接CO，∴OC⊥CH．∵∠COH＝60°，∠H＝30°， 过C作CG⊥AB于G，
设EC=k，∵∠CAB＝30°，∴
，
，
，∴k2＝4，k＝2，即EC＝2．
又∵∠H＝∠CAB＝30°，∴AC＝CH＝3k，∴AH＝ ∵S△ACH＝
， ∴
【解析】【分析】（1）要证DC2＝CE·AC，只需证△ACD∽△DCE即可求解；
（2）连接OC，OD，根据已知条件AE＝2EC可用含k的代数式表示线段AE、CE、AC，由（1）可将CD用含K的代数式表示，在Rt△ACB中，由勾股定理可将AB用含K的代数式表示，结合已知条件和圆的性质可求解；
（3）过C作CG⊥AB于G，设EC=k，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将CG用含K的代数式表示，根据三角形ACH的面积=AH
CG=9
即可求解。
2．如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S（不能构成△MPQ的动点除外）．
（1）t（s）为何值时，点Q在BC上运动，t（s）为何值时，点Q在CD上运动； （2）求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（4）当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，△MPQ是等腰三角形． 【答案】 （1）解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，
∵DA=DB，AM=BM， ∴DM⊥AB. ∵CE⊥AB， ∴ ∴CE∥DM. ∵DC∥ME,CE∥DM, ∴四边形DCEM是矩形， ∴CE=DM=4，ME=DC=1. ∵AM=BM,AB=8, ∴AM=BM=4. ∴BE=BM?ME=3. ∵ ∴CB=5.
∵当t=4时，点P与点M重合，不能构成△MPQ， ∴t≠4. ∴当
且t≠4(s)时,点Q在BC上运动;当
(s)时，点Q在CD上运动.
（2）解：①当0 ∵QF⊥AB，CE⊥AB， ∴ ∴QF∥CE. ∴△QFB∽△CEB. ∴ ∵CE=4，BC=5，BQ=t， ∴ ∴ ∵PM=AM?AP=4?t， ∴ ②当 过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3， 时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上， ∵QF⊥AB,CE⊥AB, ∴ ∴QF∥CE. ∴△QFB∽△CEB. ∴ ∵CE=4，BC=5，BQ=t， ∴ ∴ ∵PM=AP?AM=t?4， ∴ ③当 过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4， 时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上， 此时QF=DM=4. ∵PM=AP?AM=t?4， ∴ 综上所述：当0 当 时, 当 （3）解：①当0 0<2<4， ∴当t=2时,S取到最大值,最大值为 ②当 ∵ 时, 对称轴为x=2. ∴当x>2时，S随着t的增大而增大， ∴当t=5时,S取到最大值,最大值为 ③当 ∵2>0， ∴S随着t的增大而增大, ∴当t=6时，S取到最大值，最大值为2×6?8=4. 综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为4 时，S=2t?8. （4）解：当点Q在CD上运动即 时，如图5，
中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附详细答案(1)
