100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 70.1777 84.4454 100.301 117.792 136.966 157.27 179.494 203.156 228.006 253.937 280.867 308.732 337.475 367.046 397.402 428.501 460.308 492.788 525.911 559.646 593.967 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 1003.5 1043.11 1083.05 1123.3 1163.83 1204.64 1245.71 1287.03 1328.58 1370.34 1412.31 1454.46 1496.79 1539.29 1581.93 1624.71 1667.62 1710.63 1753.75 1796.95 1840.22 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 2317.54 2360.73 2403.84 2446.84 2489.74 2532.51 2575.14 2617.62 2659.94 2702.08 2744.03 2785.78 2827.31 2868.6 2909.65 2950.44 2990.95 3031.17 3071.09 3110.68 3149.93 1030 1040 1050 1060 1070 1080 1090 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 1180 1190 1200 3554.11 3587.81 3620.88 3653.32 3685.08 3716.13 3746.44 3775.96 3804.66 3832.49 3859.39 3885.3 3910.19 3934.01 3957.74 3958.07 3978.33 3996.88 5.2实际储油罐变位分析
我们将储油罐分成三段来考虑，两端为球缺，中间为圆柱体。中间部分采用类似第一题的积分方法求解。对于两端的球冠体，若直接积分，结果将十分复杂，为方便计算，同时使误差尽量小，本文把球冠内油液面看做与Y轴平行。
对于纵向与横向都已经变化好的静态储油罐来说，我们以中间圆柱体一侧底面圆心为原点，平行于罐体的轴为Y轴，平行于油面的轴为X轴建立空间直角坐标系。
油位探针 Z 90o 油浮子 90o Y H2 O 油 h0 H1 水平线 α 图10 储油罐纵向变位示意图
9
根据图10可以得到以下关系式：
H1?2tan??hH2?h?6tan?
用垂直于Y轴的平面去截油罐得到图11所示的储油罐的横向变位截面示意图，图中两个油液面是指将横向变位前后的截面图画在一个图中，并使油位探针方向相同，以方便计算，此时前后液面形成夹角?：
油位探针 β
横向变位
横向变位前油液面
后油液面
h0 h
图11 储油罐横向变位示意图
h0为测量值，h实际油位高度，根据图像可得如下关系式：
h??h0?1.5?cos??1.5
综合上面几个式子，可得H1、H2与h0的关系式：
H1??h0?1.5?cos??2tan??1.5
H2??h0?1.5?cos??6tan??1.5
5.2.1球冠体内储油量的计算
根据已知数据容易解得球冠所在球的半径为1.625m，球过球心的截面图如下，以圆心为原点，平行于空间坐标系Y轴的轴为X轴，建立新的平面直角坐标系，阴影部分为储油部分：
Y
1.625m 1m O X x
图12 球冠还原为球后截面图
10
该圆的方程为：
x表示圆上一点到Y轴距离，所以：
x2?y2?1.6252
x?1.6252?y2
以平行于空间坐标系Y轴的平面去截球冠，得到如下所示截面图：
x
θ
0.625m
图13 球冠体截面图
可以得知：
0.6250.625??arccos()?arccos()
22x1.625?y所以球冠内油料截面面积为：
S??x2?0.625?x2?0.6252??arccos(Vg??0.6251.6252?y2H?1.5)(1.6252?y2)?0.6252.25?y2 当球冠内油位高度为H时，球冠内储油量为：
?1.5Sdy
在计算两端球冠内储油量时，分别用H1、H2代替H即可求出结果。 5.2.2中间圆柱体内储油量的计算
计算方法与第一问中类似，用垂直于Y轴的平面去截得到如下截面示意图：
Z
X h
图14 圆柱部截面示意图
截面圆的方程为：
11
x2?z2?1.52
于是得到：
x?1.52?y2 又有：
h??ytan??H1
即：
y?于是该截面面积：
h?1.5H1?h tan?S???1.521.52?y2dy
由于有转折点，又要分三种情况讨论，分别求解。 当2tan??H1?8tan?（单位：m）时
V01??Sdy
0H1当8tan??H1?3（单位：m）时
V02??Sdy
H2H1当3?8tan??H2?3?6tan?（单位：m）时
V03?V0?V01
其中V0为圆柱体的总体积
用Matlab积分得到的结果过于冗长，不便于写在正文中，具体结果见附录。
5.2.3参数?，?的确定
由于第二种情况的可能性最大，数据最多，所以在求解参数?与?时，利用附表2中显示油高值在中间部分的值进行计算。由于显示的油量容积是利用没有变位情况下的公式计算得到的，不是真实值，故不能加以利用。附表2给出了出油量与显示油高的对应数据，我们用差值计算，即利用累计出油量与油高的变化值的对应关系求解?、?。 取流水号分别为323、337、351的三组数据， 令：
h1?1696.61 ; h2?1609.06 ; h3?1516.81
于是得到如下方程组：
337??H1?h1????Vg??H2?h1????V02?h1??Vg??H1?h2????Vg??H2?h2????V02?h2???mi?Vg??i?324 ?351?V?H?h???V?H?h???V?h??V?H?h???V?H?h???V?h??mi?g?12?g?22?022g?13?g?23?023?i?338?
用Matlab7.0求解该方程组，得到一组解?=1.6o，?=0o
于是便得到了变位后储油量与油位高度的关系式，间隔10cm取值代入得到如下罐
12
容表标定值：
表2 变位后实际储油罐罐容表标定值 油位读数(m) 罐容量(L) 油位读数(m) 罐容量(L) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 25.6771 331.1114 1123.38 2352.8 3883.3 5656.84 7634.74 9787.13 12089.1 14518.7 17056.3 19683.5 22383 25138.3 27933.4 30752.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 33580.3 36401.2 39199.9 41960.7 44667.7 47304.2 49853.2 52296.5 54614.5 56785.7 58785.4 60584.7 62146.2 63414.9 63856.4
将得到的关系曲线
76x 104变位后罐容量与油位高度关系图54罐容量(L)3210-100.511.522.53油位高度(m)
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2010年全国大学生数学建模一等奖论文（A题）
