0.892z2dv?2?2.45?0.89?dz 20.62体积微元在z轴方向进行积分，得到体积公式：
V?2?2.45??h?0.6?0.60.892z20.89?dz20.62 ?2.18025??h?0.6??
hh??h?????1.3083??arcsin??1???0.30.36?0.6?2??2
将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图，
得到如下曲线：
储油量与油位高度关系图4500400035003000储油量 / L25002000150010005000计算得到数据实际测量数据00.20.40.60.8油位高度 / m11.21.4图3 计算曲线与实际数据对比图
从图像上可以看出，计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。
5.1.2??4.1o纵向变位
以椭圆罐底中心为原点，X轴，Z轴平行于罐底，Y轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：
油位探针 Z
4 Y
由图4可知：
H?h0?400tan?
接下来分三种情况进行讨论，通过二重积分即可求得油料体积。
第一种情况：
当400tan??H?2450tan?（单位：mm ）时，只有一端罐底接触油面，如图5：
油位探针
Z
Y
h0 H X 图5 第一种情况
先在Z轴方向上定积分，得到任意位置油料截面面积：
S?2??h?600?6008902z2890?dz26002?hh2???h???5 ?890?h?600????5.34?10?arcsin?1?????2??600?2???300600?再将h视为变量，在Y轴方向上定积分：
V1??其中h?Htan?0S?h?dy
H?ytan?，代入后解得：
V1??8.622?10?3H4?1.242?104H2?20.69H3?1.17?108H?7.021?109 ?7.45?106?arcsin?1.667?10?3H?1?H ?4.47?109?arcsin?1.667?10?3H?1??7.45?106?1200H?H2第二种情况：
当2450tan??H?1200 （单位：mm）时，两端罐底都接触油面，如图6：
5
Z 油位探针 Y H h0 X 图6 第二种情况 V2??代入
24500S?h?dy
h?H?ytan?
得：
V2?2.558?109?6.462?106H?1.250?104H2?6.057H3 ?7.450?106?arcsin?1.667?10?3H?1.2927?H? +5.778?109?arcsin?1.667?10?3H?1.2927??7.450?10?25 ??2.416?1067?1?1062H2?1.551?1065H?7.45?106 ?arcsin?1.667?10?3H?1?H?4.47?109?arcsin?1.667?10?3H?1? ?7.45?106?1.2?103H?H2
第三种情况：
当H0?1200，其中H0?h0?400tan? （单位：mm）时，一端罐底已经完全被油浸没，如图7：
油位探针 Z
Y
h0 H0
X
6 图7 第三种情况
V3?2450?890?600???且h?H'tan?0S?h?dy
H'?ytan?，其中
H'?2450tan??H0?1200，
代入上式解得：
V3?1.3083?109??V1?H'?
将上述三种情况得到的方程式分区间画在同一坐标系中，并与实际测量的数据做对比，得到如下关系图（图8）：
纵向变位后储油量与测量油位高度关系图4500400035003000罐内储油量 / L25002000150010005000第一阶段第二阶段第三阶段实际数据0200400600800测量油位高度 / mm10001200
图8 变位后储油量与油位高度关系图
从图8可以看出，计算得到的公式基本符合实际检测数据。通过代入数据，误差保持在3%以内。因此，在标定罐容表时，我们以得到的公式为基础，代入数据计算即得。
将变位前后储油量与油位高度关系图画在同一坐标系中，得到图9：
7
纵向变位前后储油量与测量油位高度关系对比图4500400035003000罐内储油量25002000150010005000变位前 变位后 0200400600800测量油位高度 / mm10001200图9 变位前后储油量与油位高度关系曲线对比
结合公式以及图9可以看出罐体变位对罐容表产生如下影响：
变位后在油位液面到达探针之前，测量高度始终为0，刚好接触油浮子时，将数据代入公式可计算得此时储油量约为1.75L；在变位后的第一阶段内，曲线斜率小于变位前，这个阶段内储油量变化较慢；第二阶段内，曲线增长趋势与变位前基本一致，即上升相同的高度，储油量增加值基本相等，但由于第一阶段储油量较少，这是储油量比变位前小220L左右；第三阶段曲线变化率逐渐降低，当油浮子的高度为1200mm时，油罐还没有装满，此时的储油量比变位前少约100L。根据假设，为使油位高度与储油量是一一对应的关系，此时不再加油，认为该值即为储油最大值。
从0到1200mm每间隔10mm取一数值代入公式得到如下罐容表的标定值：
表1 纵向变位后的罐容表标定值 油位高度（mm） 罐容量(升) 油位高度（mm） 罐容量(升) 油位高度（mm） 罐容量(升) 油位高度（mm） 罐容量(升) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
1.754 3.6066 6.33542 10.0434 14.8218 20.7535 27.9142 36.3738 46.1975 57.4464 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 628.847 664.262 700.188 736.603 773.485 810.814 848.571 886.735 925.289 964.215 8
620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 1883.55 1926.94 1970.35 2013.8 2057.25 2100.71 2144.15 2187.56 2230.94 2274.27 930 940 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 3188.83 3227.36 3265.49 3303.21 3340.51 3377.35 3413.73 3449.62 3484.99 3519.83
2010年全国大学生数学建模一等奖论文（A题）
