人教版高中数学知识与巩固·几类不同增长的函数模型（基础）
【学习目标】
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．
3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓． 【要点梳理】
要点一：几类函数模型的增长差异
一般地，对于指数函数y?a(a?1)和幂函数y?x(??0)，通过探索可以发现，在区间?0,???上，无论?比
x?x?a大多少，尽管在x的一定范围内，但由于a的增长快于x的增长，因此总存在一个x0，当x?x0ax会小于x?，x?时，就会有a?x．同样地，对于对数函数y?logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，
??尽管在x的一定范围内，logax可能会大于x，但由于logax的增长慢于x的增长，因此总存在一个x0，当
x?x0时，就会有logax?x?．
综上所述，在区间?0,???上，尽管函数y?a(a?1)、y?x(??0)和y?logax(a?1)都是增函数，但它
x?们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y?a(a?1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y?x(??0)的增长速度，而y?logax(a?1)的增长则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当
?xx?x0时，就有logax?x??ax.
三类函数模型增长规律的定性描述：
1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示：
要点诠释：
当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．
要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模． 常用的函数模型有以下几类：
（1）线性增长模型：y?kx?b(k?0)；（2）线性减少模型：y?kx?b(k?0)．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数y?ax?bx?c(a?0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数y?ax?bx?c(a?0)． （3）指数函数模型
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f(x)?abx?c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当b?1时，为快速增长模型；当0?b?1时，为平缓
减少模型．
（4）对数函数模型
f(x)?mlogax?n（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当a?1时，为平缓增长模型；当0?a?1时，为快速
减少模型．
（5）反比例函数模型
y?k(k?0)．当k?0时，函数在区间???,0?和?0,???上都是减函数；当k?0时，函数在???,0?和x?0,???上都是增函数．
（6）分段函数模型
当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．
【典型例题】
类型一、研究函数的变化规律并比较其大小
例1．（1）已知函数f(x)?2?x，分别求f(x)在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．
（2）比较2x与x2的大小关系．
（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系． 【答案】（1）3 （2）略（3）略
【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小． （1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表． x y=2x y=x2 y=2x－x2 x y=2x y=x2 y=2x－x2 … … … … 8 256 64 192 －2 0.25 4 －3.75 10 1024 100 924 －1 0.5 1 －0.5 12 4096 14 3952 0 1 0 1 14 16384 196 16188 2 4 4 0 16 65536 256 65280 4 16 16 0 … … … … 6 64 36 28 x2应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点． ∴共有3个零点，分别为x1≈－0.7666，x2=2.000，x3=4.000． （2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示． 当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；
当x∈（－0.7666，2.000）时，2x＞x2；当x=－0.7666时，2x=x2； 当x∈（2.000，4.000）时，2x＜x2；当x=2.000时，2x=x2； 当x∈（4.000，+∞）时，2x＞x2；当x=4.000 ，2x=x2． （3）当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；log2x不存在；
当x∈（－0.7666,0）时，2x＞x2；log2x不存在；当x=－0.7666时，2x=x2； 当x∈（0，2.000）时，log2x＜x2＜2x；
当x∈（2.000，4.000）时，log2x＜2x＜x2；当x=2.000时，log2x＜2x=x2； 当x∈（4.000，+∞）时，log2x＜x2＜2x；当x=4.000时，log2x＜x2=2x．
【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在
一个x0，使得当x＞x0时，logax＜xn＜ax（a＞1）恒成立．但在（0，x0）上，该不等式不一定成立． 举一反三：
123，log25三个数中最大的数是 ． 【变式1】（2015 北京高考）2，【答案】log25
【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．
112??1，32?3?1，log25?log24?2?3，所以log25最大．
8?3?3故答案为：log25．
类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型
例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下： 方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．
【解析】设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y?40(x?N)进行描述；方案二可以用函数
*y?10x(x?N*)进行描述；方案三可以用函数y?0.4?2x?1(x?N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数
函数，后两个都是递增函数模型． 如图
举一反三：
【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下： 用电量（千瓦时） 电费（元|千瓦时） 不超过200的部分 超过200至300的部分 0.56 0.64 超过300的部分 0.96 解答以下问题：（1）写出每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）的函数关系式； （2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？
?y?0.56x,(0?x?200)?【答案】（1）?y?0.64x?16,(200?x?300)；（2）350
?y?0.96x?112,(x?300)?【解析】（1）当0?x?200时，y?0.56x
当200?x?300时，y?112?0.64(x?200) 当x?300时，y?176?0.96(x?300)
?y?0.56x,(0?x?200)? ??y?0.64x?16,(200?x?300)
?y?0.96x?112,(x?300)? （2）由（1）知x?300
由0.96x?112?224，得x=350
∴ 该家庭月用电量为350千瓦时
例3．（2016 江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：m?9117x?，n??x2?5x?，当m―n≥0时，称不亏损企业；2444当m－n＜0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 【思路点拨】（1）通过解不等式m－n≥0，计算即得结论； （2）通过（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额n?m??【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，n－m取最大值【解析】（1）依题意，m－n≥0，即整理和：x?2x?8?0，
解得：x≥4或x≤－2（舍），
∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机； （2）由（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，
219 (x?1)2?，进而计算可得结论．
449 49117x???x2?5x?， 24441279119x?5x?)?(x?)??(x?1)2?， 4424449∴当x=1时，n－m取最大值，
49答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
4亏损额n?m?(?【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累． 举一反三：
【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x = t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y = f（t）的图象大致是（ ）
A
O x =t B
【答案】D
?32?t(0?t?1)?2【解析】 函数S(t)?? 故选 D．
?23?23t?3t2(1?t?2)??2
例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？ 【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元． 【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题． 已知本金为a元．
1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2； 3期后的本利和为y3=a(1+r)3； ……
x期后的本利和为y=a(1+r)x． 将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得 y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255． 由计算器算得y=1117.68（元）．
答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．
【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不 计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数． 举一反三：
【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元． 【答案】219.01
【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题： （1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； （2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？ 【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．
【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律． （1）1年后该城市人口总数为： y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2； 3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3； ……
x年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x． （2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）． （3）设x年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1+1.2%)x=120，
x?log1.012120?log1.1021.2?15(年)． 100（4）设年增长率为x，依题意，得100×(1+x)20≤120， 由此有(1+x)20≤1.2，
由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%， 即年自然增长率应控制在0.9%以内．
【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
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