第九节 圆锥曲线的综合应用
考点 圆锥曲线的 综合应用 命题分析 高考试题 2017·全国卷Ⅱ·T20·12分 2015·全国卷Ⅱ·T20·12分 考查内容 定点、定值问题 定值问题 核心素养 数学运算 逻辑推理 高考对本节内容的考查以解答题为主，难度较大，考题大多围绕直线与圆锥曲线的位置关系展开对定值，最值，参数取值范围等问题的考查. 第一课时 圆锥曲线中的最值与范围问题
圆锥曲线中的最值问题 [明技法]
圆锥曲线中求解最值问题的常用方法
(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． (2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值． (3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值． [提能力]
y2x2
【典例】 (2024·安阳月考)设椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1
ab的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
c2
解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e＝＝，
a2c2
由2 a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝2，b＝2，
a2y2x2
故椭圆M的方程为＋＝1．
42
??y＝2x＋m，
(2)联立方程?x2y2
＋＝1，??24
得4x2＋22mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(22m)2－16(m2－4)＞0，得－22＜m＜22．
?x＋x＝－22m，且?m－4
xx＝，?4
1
2
2
12
所以|AB|＝1＋2|x1－x2|＝3·?x1＋x2?2－4x1x2 12m22
＝3·m－m＋4＝3·4－．
22又P到直线AB的距离为d＝
|m|
， 3
2?4－m?·m2? ?
213m2|m|1
所以S△PAB＝|AB|·d＝·4－·＝
22232
22
1m＋?8－m?
＝m?8－m?≤·＝2．
22222
1
22当且仅当m＝±2∈(－22，22)时取等号， 所以(S△PABmax)＝2． [刷好题]
x2y2
1．已知椭圆＋2＝1(0 4bABF的面积的最大值为________. 解析：不妨设点F的坐标为(4－b2，0)，而|AB|＝2b， b2＋4－b212222∴S△ABF＝×2b×4－b＝b4－b＝b?4－b?≤＝2(当且仅当b2＝4－b2， 22即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2． 答案：2 2．(2024·长春模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点． →→ (1)若AF＝2FB，求直线AB的斜率； (2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值． 解：(1)依题意知F(1,0)， 设直线AB的方程为x＝my＋1． 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.① →→因为AF＝2FB， 所以y1＝－2y2. ② 2 联立①和②，消去y1，y2，得m＝±． 4所以直线AB的斜率是±22． (2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB． 1因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|＝?y1＋y2?2－4y1y2＝41＋m2， 2所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4． 圆锥曲线中的范围问题 [明技法] 圆锥曲线中求解范围问题的常用方法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． [提能力] y2x26 【典例】 (2024·贵阳监测)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C ab3上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2． (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在 x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)设椭圆的半焦距长为c， c6??＝， 则由题设有?a3 ??a－c＝3－2，
2024大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：第9章 第9节 第01课时 圆锥曲线中的最值与范围问题
