。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第六节 对数与对数函数
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单1
调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对
2数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
(对应学生用书第22页)
[基础知识填充]
1．对数的概念
如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即a＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R)；
④logamM＝logaM(m，n∈R且m≠0)． (2)对数的性质
logaNN①a＝N；②logaa＝N(a＞0，且a≠1)． (3)对数的重要公式
logaN①换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)；
logabnnbxMNnm 1
1
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
logba3．对数函数的定义、图像与性质
定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫作对数函数 a＞1 图像 0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域：R 性质 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0 在(0，＋∞)上为增函数 4.反函数 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为减函数 指数函数y＝a(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
[知识拓展] 对数函数的图像与底数大小的比较
多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
如图2-6-1，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.
x
图2-6-1 [基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( ) (2)log2x＝2log2x.( ) (3)当x＞1时，logax＞0.( )
1＋x(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
1－x2
2
?1?(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，?，－1?，
?a?
函数图像不在第二、三象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．(log29)·(log34)＝( )
1
A． 4C．2
1B． 2D．4
lg 9lg 42lg 32lg 2
D [原式＝·＝×＝4.]
lg 2lg 3lg 2lg 31
11－
3．已知a＝23，b＝log2，c＝log1，则( )
33
2
A．a＞b＞c C．c＞b＞a
B．a＞c＞b D．c＞a＞b
1
111－0
D [∵0＜a＝23＜2＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log1＞log1＝1，∴c＞a＞b.]
332223
4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
4
?3?A．?0，? ?4?
?3?C．?0，?∪(1，＋∞) ?4?
B．(1，＋∞)
?3?D．?，1? ?4?
33
C [当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；
443
当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.
4
?3?即实数a的取值范围是?0，?∪(1，＋∞)．] ?4?
5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过的定点是________．
(2,2) [当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2)．]
(对应学生用书第23页)
对数的运算 3
11ab (1)设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( )
abA．10 B．10 C．20 D．100 －?1?(2)计算：?lg －lg 25?÷1002＝________.
?4?
【导学号：79140049】
(1)A (2)－20 [(1)∵2＝5＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， 1111
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ablog2mlog5m∴m＝10.
1
1??－22－2
(2)原式＝(lg 2－lg 5)×1002＝?lg 22?×10＝(lg 10)×10＝－2×10＝－
?2·5?20.]
[规律方法] 对数运算的一般思路 拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. 合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 转化：a＝N?b＝logaN运算中应注意互化. [跟踪训练] (1)(2018·云南二检)已知函数f(x)＝lg(1＋4x－2x)＋1，则f(3)＋f(－3)＝( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
21
abba＞0，且a是解决有关指数、对数问题的有效方法，在(2)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.
5
(1)D (2) [(1)f(3)＋f(－3)＝lg(37－6)＋lg(37＋6)＋2＝lg[(37－6)(37
4＋6)]＋2＝lg 1＋2＝2，故选D．
(2)原式＝?＝?＝
?lg 2＋lg 2?·?lg 3＋lg 3?
????lg 3lg 9??lg 4lg 8?
?lg 2＋lg 2?·?lg 3＋lg 3?
????lg 32lg 3??2lg 23lg 2?
3lg 25lg 35
·＝.] 2lg 36lg 24
4
对数函数的图像及应用
(1)(2017·广东韵关南雄模拟)函数f(x)＝x满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图像大致为( )
a
??log2x，x＞0，(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝?x?3，x≤0，?
且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
【导学号：79140050】
(1)C (2)(1，＋∞) [(1)法一：∵f(2)＝4，∴2＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x??log2(x＋1)，x≥0，
＋1)|＝?
?－log2(x＋1)，－1＜x＜0，?
a
∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)＝0；
当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递减．故选C．
法二：由f(2)＝4，即2＝4得a＝2，
∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函数g(x)是由函数y＝|log2x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选C．
a
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]
[规律方法] 利用对数函数的图像可求解的两类问题 对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性、值域最值、零点时，常利用数形结合思想求解. 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解. [跟踪训练] 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图2-6-2，则下列结论成立的是( )
单调区间 5
2019年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数与对数函数学案理北师大版20180413459
