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第13课时 正切函数的图象与性质 课时目标 1.掌握正切函数的性质，并会应用其解题． 2．了解正切函数的图象，会利用其解决有关问题． 识记强化 π. |ω|
1．正切函数y＝tanx的最小正周期为π；y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
信达
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???π
2．正切函数y＝tanx的定义域为?x?x∈R，x≠＋kπ，k∈Z?
2???
，值域为R.
π?π?3．正切函数y＝tanx在每一个开区间?－＋kπ，＋kπ?，k∈Z内均为增函数．
2?2?
4．正切函数y＝tanx为奇函数．
5．对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心?kπ，0?(k∈Z)．正切函数无对称轴． 坐标是??
?2?
课时作业
一、选择题
1．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( ) ππA. B. 42C．πD．2π 答案：B
tanx2．函数f(x)＝的奇偶性是( )
1＋cosxA．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 答案：A
tanx解析：要使函数f(x)＝有意义，
1＋cosxπ??x≠kπ＋?k∈Z?2必须使?
??1＋cosx≠0
，
π
即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π，k∈Z.
2
tanx所以函数f(x)＝的定义域关于原点对称．
1＋cosxtan?－x?－tanx又因为f(－x)＝＝＝－f(x)，
1＋cos?－x?1＋cosxtanx所以函数f(x)＝为奇函数．故选A.
1＋cosx?π?3．下列函数中，周期为π，且在?0，?上单调递增的是( )
2??
信达
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A．y＝tan|x|B．y＝|tanx| C．y＝sin|x|D．y＝|cosx| 答案：B
解析：画函数图象，通过观察图象，即可解决本题．
xπ
4．函数y＝tan(＋)的单调递增区间是( )
23
A．(－∞，＋∞)
5ππ??B.?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z 66??
5ππ??C.?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z 33??
5ππ??D.?kπ－，kπ＋?，k∈Z 33??
答案：C
ππ??解析：由y＝tanx的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?， 22??
πxππ
∴kπ－＜＋＜kπ＋，k∈Z
22325ππ
?2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.故选C.
33
?π?5．函数y＝tan?x＋?的一个对称中心是( )
5??
?π?A．(0,0)B.?，0? ?5?
?4π，0?D．(π，0) C.???5?答案：C
πkπkππ?π?解析：令x＋＝，得x＝－，k∈Z，∴函数y＝tan?x＋?的对称中心是
5?5225?
?kπ－π，0?.令k＝2，可得函数的一个对称中心为?4π，0?. ?2??5?5????
?ππ?6．已知函数y＝tanωx在?－，?内是减函数，则( ) ?22?
A．0<ω≤1B．－1≤ω<0 C．ω≥1D．ω≤－1 答案：B
π?ππ?解析：∵y＝tanωx在?－，?内是减函数，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0. |ω|?22?
二、填空题
1
7．函数y＝的定义域是________．
1＋tanx??ππ
答案：?xx∈R，x≠kπ＋且x≠kπ－，k∈Z?
24??
1＋tanx≠0??1
解析：要使函数y＝有意义，只需?π
1＋tanxx≠＋kπ?2?
π
，k∈Z，解得x≠kπ＋且
2
信达
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??πππ1
的定义域为?xx≠kπ＋且x≠kπ－，k∈Z?.
2441＋tanx??
8．方程x－tanx＝0的实根有________个． 答案：无数 解析：方程x－tanx＝0的实根个数就是直线y＝x与y＝tanx的图象的交点的个数，由于y＝tanx的值域为R，所以直线y＝x与函数y＝tanx图象的交点有无数个．
9．直线y＝a(a为常数)与曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的两相邻交点间的距离为________．
π答案： x≠kπ－，k∈Z.∴函数y＝
ωππ
解析：∵ω>0，∴函数y＝tanωx的周期为，∴两交点间的距离为.
ωω三、解答题
?xπ?10．求函数y＝tan?－?的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心． ?23?
xππ
解：①由－≠kπ＋，k∈Z，
232
5π
得x≠2kπ＋，k∈Z.
3
??5π
∴函数的定义域为?xx≠2kπ＋，k∈Z?.
3??
π
②T＝＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
12
πxππ
③由kπ－<－ 2232π5π 解得2kπ－ 33 π5π??∴函数的单调递增区间为?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z. 33?? xπkπ2π ④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z. 2323 2π??kπ＋，0?，k∈Z. ∴函数的对称中心是?3?? 11．求函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域． tanx＋1≥0 ??1－tanx>0 解：由题意，得? π x≠kπ＋，k∈Z??2 信达 ，即－1≤tanx<1. ?ππ??ππ?在?－，?内，满足上述不等式的x的取值范围是?－，?. ?22??44?又y＝tanx的周期为π， ππ??所以所求x的取值范围是?kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 44??ππ??即函数的定义域为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 44?? -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 能力提升 π 12．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图像如图所示， 2 ?π?则f??＝________. ?24? 答案：3 T3πππ 解析：由图像知＝π－＝，T＝，ω＝2， 28842 πππ 2×＋φ＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z. 824 ππ 又|φ|＜，∴φ＝. 24 π ∵函数f(x)的图像过点(0,1)，∴f(0)＝Atan＝A＝1. 4 π??∴f(x)＝tan?2x＋?. 4?? π?π??ππ?∴f??＝tan?2×＋?＝tan＝3. 3?24??244? ?ππ?2 13．已知函数f(x)＝x＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈?－，?. ?22? π (1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值； 6 信达 -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- (2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数． π233?4?2 解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x－x－1＝?x－?2－. 633?3?∵x∈[－1，3]， 34 ∴当x＝时，f(x)取得最小值－， 33 23 当x＝－1时，f(x)取得最大值. 3 22 (2)f(x)＝(x＋tanθ)－1－tanθ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tan θ. ∵y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tanθ≤－1或－tanθ≥3，即tanθ≥1或tanθ≤－3. ?ππ?又θ∈?－，?， ?22? π??ππ??π ∴θ的取值范围是?－，－?∪?，?. 3??42??2 信达
人教A版数学必修四第13课时
