专题44 构建方程的思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决．方程思想在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活． 1.利用勾股定理建立一元二次方程。 2.利用三角形三边关系可建立不等式。
3.利用圆的内接四边形内角和等于360°建立一元一次方程。 4.利用绝对值、根式建立方程组。
5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。
【例题1】（2020?内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．3
B．5
C．
5√13 6
D．√13
【对点练习】若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ） A．6
B．12 C．16 D．18
【例题2】（2020?天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 ．
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【对点练习】如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．
【例题3】（2020?常德）如图，已知抛物线y＝ax过点A（﹣3，4）． （1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（2，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC＝MA?MB； （3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
3
2
2
9
【对点练习】（2019江苏徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm？
2
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一、选择题
1．（2020?绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm
B．10cm
C．8cm
D．3.2cm
2．（2019湖北黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（点C是
），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，
的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
3．（2019贵州贵阳）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（ ） A．3
B．4.5
C．6
D．18
4. （2020桂林模拟）若|3x﹣2y﹣1|+=0，则x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
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二、填空题
5．（2020?常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为 ．
6．（2020?长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F． （1）????+????= ．
（2）若PN＝PM?MN，则????= ．
2
????????
????
7．（2020?湘潭）若??=7，则
??
3
???????
= ．
沿弦AB折叠交于OC的中点D，若
8．（2019宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧
AB＝2，则⊙O的半径为 ．
9．（2020毕节市模拟）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是 L．
10.（2020?衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB第 4 页 / 共 8 页
在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的
??
??
图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8√3，则k＝ ．
11．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时．
12.（2019?湖北天门）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是 ． 三、解答题
13．（2020?天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）． 参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
14．（2020?武威）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
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（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
15．（2020?长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；
（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．
16．（2020?广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F． ①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由． ②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．
17．某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线
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ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系． （1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为 元；
（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？
18.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
19．（2019辽宁本溪）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP． （1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．
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专题44 构建方程的思想（学生版）备战2021年中考数学专题复习精讲精练
