??a1?a2??1?a1?a1q??1①,即?, ?2??a1?a3??3?a1?a1q??3②显然q?1,a1?0,
②得1?q?3,即q??2,代入①式可得a1?1, ①?a4?a1q3?1???2???8.
3
?x?1,x≤0,1f(x)?15.设函数则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是________. ?x2?2,x?0,?1?【答案】??,???
?4??x?1,x≤01?1???【解析】Qf?x???x,f?x??f?x???1,即f?x???1?f?x?
2?2????2 ,x?01??由图象变换可画出y?f?x??与y?1?f?x?的图象如下:
2?? y1y?f(x?)211(?,)44g1?2gg12 x y?1?f(x)1???1?由图可知,满足f?x???1?f?x?的解为??,???.
2???4?
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60?角时,AB与b成30?角; ②当直线AB与a成60?角时,AB与b成60?角; ③直线AB与a所成角的最小值为45?; ④直线AB与a所成角的最大值为60?.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③
【解析】由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图.
不妨设图中所示正方体边长为1, 故|AC|?1,AB?2,
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变, B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.
uuuruuur以C为坐标原点,以CD为x轴正方向,CB为y轴正方向, uuurCA为z轴正方向建立空间直角坐标系. 则D(1,0,0),A(0,0,1),
rra直线的方向单位向量a?(0,1,0),|a|?1.
B点起始坐标为(0,1,0),
rr直线b的方向单位向量b?(1,0,0),|b|?1. 设B点在运动过程中的坐标B?(cos?,sin?,0), 其中?为B?C与CD的夹角,??[0,2π).
uuuruuur那么AB'在运动过程中的向量AB??(?cos?,?sin?,1),|AB?|?2. uuurrπ设AB?与a所成夹角为??[0,],
2(?cos?,?sin?,1)?(0,1,0)22cos???|sin?|?[0,]. ruuur则22aAB?ππ故??[,],所以③正确,④错误.
42uuurrπ设AB?与b所成夹角为??[0,],
2uuurrAB??bcos??ruuurbAB???(?cos?,sin?,1)?(1,0,0).
ruuurbAB?2|cos?|2uuurrπ当AB?与a夹角为60?时,即??,
3?12. sin??2cos??2cos?2?322∵cos2??sin2??1,
2. 221∴cos??|cos?|?.
22π∵??[0,].
2uuurrπ?=∴,此时AB?与b夹角为60?. 3∴②正确,①错误.
∴|cos?|?
三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选
考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共60分. 17.(12分)
?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA?3cosA?0,a?27,b?2. (1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD?AC,求△ABD的面积.
π??【解析】(1)由sinA?3cosA?0得2sin?A???0,
3??π?kπ?k?Z?,又A??0,π?, 3π2π∴A??π,得A?.
33即A?1由余弦定理a2?b2?c2?2bc?cosA.又∵a?27,b?2,cosA??代入并整理
22得?c?1??25,故c?4.
(2)∵AC?2,BC?27,AB?4, a2?b2?c227由余弦定理cosC?. ?2ab7∵AC?AD,即△ACD为直角三角形, 则AC?CD?cosC,得CD?7. 由勾股定理AD?又A?CD?AC?3. 22S△ABD2π2πππ??, ,则?DAB?33261π?AD?AB?sin?3. 26
18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每
瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500
25?,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量瓶;如果最高气温位于区间?20,为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 15? ?15,20? ?20,25? ?25,30? ?30,35? ?35,40? 最高气温 ?10,天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500
2?161P?X?200???
30?35362P?X?300???
30?3525?7?42P?X?500???.
30?35 则分布列为: X P 200 300 500
122 555⑵①当n≤200时:Y?n?6?4??2n,此时Ymax?400,当n?200时取到.
②当200?n≤300时:Y?41?2n??200?2??n?200????2??? 55?8800?2n6n?800?n?? 555
19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角
形.?ABD?CBD,AB=BD.
D(1)证明:平面ACD^平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分.求二EC面角D-AE-C的余弦值.
B
AD【解析】⑴取AC中点为O,连接BO,DO; Q?ABC为等边三角形 ∴BO?AC EC∴AB?BC
?AB?BC?O??ABD??CBD. ?BD?BD??ABD??DBC?∴AD?CD,即?ACD为等腰直角三角形,?ADC A为直角又O为底边AC中点 ∴DO?AC
令AB?a,则AB?AC?BC?BD?a 23a,OB?a 22222∴OD?OB?BD
此时Ymax?520,当n?300时取到. ③当300?n≤500时,
122Y??200?2?n?200??2?300?2?n?300??2???? ?????????5??5?n?2 5?3200?2n?
5 此时Y?520.
④当n≥500时,易知Y一定小于③的情况.
综上所述:当n?300时,Y取到最大值为520.
B易得:OD?由勾股定理的逆定理可得?DOB??2
即OD?OB ?OD?AC?OD?OB???ACIOB?O?OD?平面ABC ?AC?平面ABC???OB?平面ABC又∵OD?平面ADC
由面面垂直的判定定理可得平面ADC?平面ABC ⑵由题意可知VD?ACE?VB?ACE 即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点
xz DCOEBAyuuuruuuruuuryx以O为原点,为轴正方向,为轴正方向,设AC?a,OBOD为z轴正方向,OA建立空间直角坐标系,
???33a?a??a??0,a,0E0,??则O?0,0,0?,A?,0,0?,D?0,0,?,B?,?2??4a,4?? 2??2??????r?aa?uuur?auuur?a3a?uuu?AD???,0,?,OA??,0,0? ?,a,易得:AE??,??244??22??2???uuruur设平面AED的法向量为n1,平面AEC的法向量为n2,
uuuruur?uurAE?n?1?0ruur则?uuu,解得n1?3,1,3 AD?n?0??1uuuruur?uur?AE?n2?0nruur,解得2?0,1,?3 ?uuu??OA?n2?0若二面角D?AE?C为?,易知?为锐角,
uuruurn1?n27uruur?则cos??u
7n1?n2????
20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以
线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
【解析】⑴显然,当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.
设l:x?my?2,A(x1,y1),B(x2,y2),
?y2?2x联立:?得y2?2my?4?0,
?x?my?2??4m2?16恒大于0,y1?y2?2m,y1y2??4. uuruuurOA?OB?x1x2?y1y2
?(my1?2)(my2?2)
?(m2?1)y1y2?2m(y1?y2)?4
??4(m2?1)?2m(2m)?4?0 uuruuur∴OA?OB,即O在圆M上.
uuuruur⑵若圆M过点P,则AP?BP?0 (x1?4)(x2?4)?(y1?2)(y2?2)?0 (my1?2)(my2?2)?(y1?2)(y2?2)?0
(m2?1)y1y2?(2m?2)(y1?y2)?8?0
1化简得2m2?m?1?0解得m??或1
21①当m??时,l:2x?y?4?0圆心为Q(x0,y0),
2y?y2119y0?1??,x0??y0?2?,
2224?9??1?半径r?|OQ|??????? ?4??2?22
普通高等学校招生全国统一考试数学试题理 全国卷 参考解析
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