??a1?a2??1?a1?a1q??1①，即?， ?2??a1?a3??3?a1?a1q??3②显然q?1，a1?0，
②得1?q?3，即q??2，代入①式可得a1?1， ①?a4?a1q3?1???2???8．
3
?x?1,x≤0,1f(x)?15．设函数则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是________． ?x2?2,x?0,?1?【答案】??,???
?4??x?1,x≤01?1???【解析】Qf?x???x，f?x??f?x???1，即f?x???1?f?x?
2?2????2 ,x?01??由图象变换可画出y?f?x??与y?1?f?x?的图象如下：
2?? y1y?f(x?)211(?,)44g1?2gg12 x y?1?f(x)1???1?由图可知，满足f?x???1?f?x?的解为??,???.
2???4?
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角； ②当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角； ③直线AB与a所成角的最小值为45?； ④直线AB与a所成角的最大值为60?．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③
【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|?1，AB?2，
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
uuuruuur以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向， uuurCA为z轴正方向建立空间直角坐标系． 则D(1,0,0)，A(0,0,1)，
rra直线的方向单位向量a?(0,1,0)，|a|?1．
B点起始坐标为(0,1,0)，
rr直线b的方向单位向量b?(1,0,0)，|b|?1． 设B点在运动过程中的坐标B?(cos?,sin?,0)， 其中?为B?C与CD的夹角，??[0,2π)．
uuuruuur那么AB'在运动过程中的向量AB??(?cos?,?sin?,1)，|AB?|?2． uuurrπ设AB?与a所成夹角为??[0,]，
2(?cos?,?sin?,1)?(0,1,0)22cos???|sin?|?[0,]． ruuur则22aAB?ππ故??[,]，所以③正确，④错误．
42uuurrπ设AB?与b所成夹角为??[0,]，
2uuurrAB??bcos??ruuurbAB???(?cos?,sin?,1)?(1,0,0).
ruuurbAB?2|cos?|2uuurrπ当AB?与a夹角为60?时，即??，
3?12． sin??2cos??2cos?2?322∵cos2??sin2??1，
2． 221∴cos??|cos?|?．
22π∵??[0,]．
2uuurrπ?=∴，此时AB?与b夹角为60?． 3∴②正确，①错误．
∴|cos?|?
三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选
考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）
?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA?3cosA?0，a?27，b?2． （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积．
π??【解析】（1）由sinA?3cosA?0得2sin?A???0，
3??π?kπ?k?Z?，又A??0,π?， 3π2π∴A??π，得A?.
33即A?1由余弦定理a2?b2?c2?2bc?cosA.又∵a?27,b?2,cosA??代入并整理
22得?c?1??25，故c?4.
（2）∵AC?2,BC?27,AB?4， a2?b2?c227由余弦定理cosC?. ?2ab7∵AC?AD，即△ACD为直角三角形， 则AC?CD?cosC，得CD?7. 由勾股定理AD?又A?CD?AC?3. 22S△ABD2π2πππ??， ，则?DAB?33261π?AD?AB?sin?3. 26
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每
瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500
25?，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量瓶；如果最高气温位于区间?20，为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 15? ?15，20? ?20，25? ?25，30? ?30，35? ?35，40? 最高气温 ?10，天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500
2?161P?X?200???
30?35362P?X?300???
30?3525?7?42P?X?500???.
30?35 则分布列为： X P 200 300 500
122 555⑵①当n≤200时：Y?n?6?4??2n，此时Ymax?400，当n?200时取到.
②当200?n≤300时：Y?41?2n??200?2??n?200????2??? 55?8800?2n6n?800?n?? 555
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角
形．?ABD?CBD，AB=BD．
D（1）证明：平面ACD^平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求二EC面角D-AE-C的余弦值．
B
AD【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO； Q?ABC为等边三角形 ∴BO?AC EC∴AB?BC
?AB?BC?O??ABD??CBD. ?BD?BD??ABD??DBC?∴AD?CD,即?ACD为等腰直角三角形，?ADC A为直角又O为底边AC中点 ∴DO?AC
令AB?a，则AB?AC?BC?BD?a 23a，OB?a 22222∴OD?OB?BD
此时Ymax?520，当n?300时取到. ③当300?n≤500时，
122Y??200?2?n?200??2?300?2?n?300??2???? ?????????5??5?n?2 5?3200?2n?
5 此时Y?520.
④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况.
综上所述：当n?300时，Y取到最大值为520.
B易得：OD?由勾股定理的逆定理可得?DOB??2
即OD?OB ?OD?AC?OD?OB???ACIOB?O?OD?平面ABC ?AC?平面ABC???OB?平面ABC又∵OD?平面ADC
由面面垂直的判定定理可得平面ADC?平面ABC ⑵由题意可知VD?ACE?VB?ACE 即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点
xz DCOEBAyuuuruuuruuuryx以O为原点，为轴正方向，为轴正方向，设AC?a，OBOD为z轴正方向，OA建立空间直角坐标系，
???33a?a??a??0,a,0E0,??则O?0,0,0?，A?,0,0?，D?0,0,?，B?，?2??4a,4?? 2??2??????r?aa?uuur?auuur?a3a?uuu?AD???,0,?，OA??,0,0? ?,a,易得：AE??，??244??22??2???uuruur设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，
uuuruur?uurAE?n?1?0ruur则?uuu，解得n1?3,1,3 AD?n?0??1uuuruur?uur?AE?n2?0nruur，解得2?0,1,?3 ?uuu??OA?n2?0若二面角D?AE?C为?，易知?为锐角，
uuruurn1?n27uruur?则cos??u
7n1?n2????
20．（12分）已知抛物线C:y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以
线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设l:x?my?2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
?y2?2x联立：?得y2?2my?4?0，
?x?my?2??4m2?16恒大于0，y1?y2?2m，y1y2??4． uuruuurOA?OB?x1x2?y1y2
?(my1?2)(my2?2)
?(m2?1)y1y2?2m(y1?y2)?4
??4(m2?1)?2m(2m)?4?0 uuruuur∴OA?OB，即O在圆M上．
uuuruur⑵若圆M过点P，则AP?BP?0 (x1?4)(x2?4)?(y1?2)(y2?2)?0 (my1?2)(my2?2)?(y1?2)(y2?2)?0
(m2?1)y1y2?(2m?2)(y1?y2)?8?0
1化简得2m2?m?1?0解得m??或1
21①当m??时，l:2x?y?4?0圆心为Q(x0,y0)，
2y?y2119y0?1??，x0??y0?2?，
2224?9??1?半径r?|OQ|??????? ?4??2?22
普通高等学校招生全国统一考试数学试题理 全国卷 参考解析
