2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
221．已知集合A?(x,y)x?y?1，B??(x,y)y?x?，则AIB中元素的个数为（）
??A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B
【解析】A表示圆x2?y2?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，
故AIB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AIB元素的个数为2，故选B.
2．设复数z满足(1?i)z?2i，则z?（） 1A．
2【答案】C
B．2 2 C．2 D．2
【解析】由题，z?2i?1?i?2i2i?2???i?1，则z?12?12?2，故选C. 1?i?1?i??1?i?2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2014年 2015年 2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.
4．(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为（）
A．??? B．??? C．40 D．80 【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x3y3的项为
23333x?C5?2x???y??y?C35?2x???y??40xy，则xy的系数为40，故选C.
2332
x2y255．已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y?x，且与椭圆
ab2x2y2??1有公共焦点．则C的方程为（） 123x2y2x2y2x2y2x2y2?1 B．??1 C．??1 D．??1 A．?810455443【答案】B
b55【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y?① x，则?a22x2y2?1与双曲线有公共焦点，易知c?3，则a2?b2?c2?9② 又∵椭圆?123x2y2?1，故选B. 由①②解得a?2,b?5，则双曲线C的方程为?45
π6．设函数f(x)?cos(x?)，则下列结论错误的是（）
38πA．f(x)的一个周期为?2π B．y?f(x)的图像关于直线x?对称
3ππC．f(x??)的一个零点为x? D．f(x)在(,π)单调递减
62【答案】D
π?π?【解析】函数f?x??cos?x??的图象可由y?cosx向左平移个单位得到，
3?3??π?如图可知，f?x?在?,π?上先递减后递增，D选项错误，故选D.
?2?y ??? g????x-O?6?7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
t S M
初始状态 0 100 1
第1次循环结束 100 ?10 2
第2次循环结束 90 1 3 此时S?90?91首次满足条件，程序需在t?3时跳出循环，即N?2为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．π B．3πππ4 C．２ D．4
【答案】B
?1?2【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r?12??3?2???2，
则圆柱体体积V?πr2h?3π4，故选B.
9．等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为（）
A．?24 B．?3 C．3 D．8 【答案】A
【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d. 则a2?a232?a6，即?a1?2d???a1?d??a1?5d? 又∵a1?1，代入上式可得d2?2d?0 又∵d?0，则d??2
∴S6?56?6a1?2d?1?6?6?52???2???24，故选A.
C:x2y210．已知椭圆a2?b2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直
径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为（）
A．63 B．323 C．
３
D．13
【答案】A
【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx?ay?2ab?0相切，∴圆心到直线距离d等于半径，
2ab?a ∴d?22a?b又∵a?0,b?0，则上式可化简为a2?3b2
c22222222∵b?a?c，可得a?3a?c，即2?
a3c6∴e??，故选A
a3
11．已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a?（）
111A．? B． C． D．1
２32【答案】C
【解析】由条件，f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)，得：
??f(2?x)?(2?x)2?2(2?x)?a(e2?x?1?e?(2?x)?1)?x2?4x?4?4?2x?a(e1?x?ex?1)
?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)∴f(2?x)?f(x)，即x?1为f(x)的对称轴， 由题意，f(x)有唯一零点， ∴f(x)的零点只能为x?1， 即f(1)?12?2?1?a(e1?1?e?1?1)?0，
1解得a?．
2
12．在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以
点C为圆心且与BD相切的圆上．若uuuruuuruuurAP??AB??AD，则???的最大值为（） A．3 B．22 C．5 D．2 【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设BD与eC切于点E，连接CE． 以A为原点，AD为x轴正半轴， AB为y轴正半轴建立直角坐标系， 则C点坐标为(2,1)． ∵|CD|?1，|BC|?2．
∴BD?12?22?5． ∵BD切eC于点E． ∴CE⊥BD．
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．
12??|BC|?|CD|2S22|EC|?△BCD?2??5 |BD||BD|5525． 即eC的半径为5yBPgCEA(O)Dx ∵P在eC上．
∴P点的轨迹方程为
设P点坐标(x0,y0)，可以设出P点坐标满足的参数方程如下： 2?x?2?5cos???05??y?1?25sin?0?5? uuuruuuruuur而AP?(x0,y0)，AB?(0,1)，AD?(2,0)． uuuruuuruuur∵AP??AB??AD??(0,1)??(2,0)?(2?,?)
(x?2)2?(y?1)2?45．
2155sin?． x0?1?cos?，??y0?1?525两式相加得：
25????1?5sin??1?cos?55∴??2525)?()2sin(???)55?2?sin(???)≤3 ?2?( (其中sin??当且仅当??
255，cos??)
55π?2kπ??，k?Z时，???取得最大值3． 2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
?x?y≥0,?13．若x，y满足约束条件?x?y?2≤0,则z?3x?4y的最小值为________．
?y≥0,?【答案】?1
【解析】由题，画出可行域如图：
3z目标函数为z?3x?4y，则直线y?x?纵截距越大，z值越小．
44由图可知：z在A?1,1?处取最小值，故zmin?3?1?4?1??1．
x?y?2?0yA(1,1)B(2,0)x?y?0x
14．设等比数列?an?满足a1?a2??1，a1?a3??3，则a4?________． 【答案】?8
【解析】Q?an?为等比数列，设公比为q．
普通高等学校招生全国统一考试数学试题理 全国卷 参考解析
