向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合
设a1,a2,???,at?Rn，k1,k2,???,kt?R，称k1a1?k2a2?????ktat为a1,a2,???,at的一个线性组合。
?k1???k【备注1】按分块矩阵的运算规则，k1a1?k2a2?????ktat?(a1,a2,???,at)?2?。这
?M????kt?样的表示是有好处的。 2.线性表示
设a1,a2,???,at?Rn，b?Rn，如果存在k1,k2,???,kt?R，使得
b?k1a1?k2a2?????ktat
则称b可由a1,a2,???,at线性表示。
?k1???kb?k1a1?k2a2?????ktat，写成矩阵形式，即b?(a1,a2,???,at)?2?。因此，b可
?M????kt??k1???k由a1,a2,???,at线性表示即线性方程组(a1,a2,???,at)?2??b有解，而该方程组有解
?M????kt?当且仅当r(a1,a2,???,at)?r(a1,a2,???,at,b)。 3.向量组等价
设a1,a2,???,at,b1,b2,???,bs?Rn，如果a1,a2,???,at中每一个向量都可以由
b1,b2,???,bs线性表示，则称向量组a1,a2,???,at可以由向量组b1,b2,???,bs线性表示。
如果向量组a1,a2,???,at和向量组b1,b2,???,bs可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：
(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
(3) 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。 证明：
自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I为a1,a2,???,ar，向量组II为b1,b2,???,bs，向量组III为c1,c2,???,ct。向量组II可由III线性表示，假设bj??ykjck，j?1,2,???,s。向量组I可由向
k?1t量组II线性表示，假设ai??xjibj，i?1,2,???,r。因此，
j?1sai??xjibj??xji?ykjck??(?ykjxji)ck，i?1,2,???,r
j?1j?1k?1k?1j?1sstts因此，向量组I可由向量组III线性表示。
向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III可由I线性表示。
因此，向量组I与III等价。结论成立！ 4.线性相关与线性无关
设a1,a2,???,at?Rn，如果存在不全为零的数k1,k2,???,kt?R，使得
k1a1?k2a2?????ktat?0
则称a1,a2,???,at线性相关，否则，称a1,a2,???,at线性无关。
按照线性表示的矩阵记法，a1,a2,???,at线性相关即齐次线性方程组
?k1???k(a1,a2,???,at)?2??0
?M????kt?有非零解，当且仅当r(a1,a2,???,at)?t。a1,a2,???,at线性无关，即
?k1???k(a1,a2,???,at)?2??0
?M????kt?只有零解，当且仅当r(a1,a2,???,at)?t。
特别的，若t?n，则a1,a2,???,an?Rn线性无关当且仅当r(a1,a2,???,an)?n，当且仅当(a1,a2,???,an)可逆，当且仅当(a1,a2,???,an)?0。
例1. 单独一个向量a?Rn线性相关即a?0，线性无关即a?0。因为，若a线性相关，则存在数k?0，使得ka?0，于是a?0。而若a?0，由于1?a?a?0，1?0因此，a线性相关。
例2. 两个向量a,b?Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b线性相关，则存在不全为零的数k1,k2，使得k1a?k2b?0。k1,k2不全为零，不妨假设k1?0，则a??k2b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假设存在?，使得a??b，则a??b?0，于是a,b线性相关。
?1??0??0??x1?????????例3.?0?,?1?,?0?线性无关，且任意x??x2??R3都可以由其线性表示，且表示
?0??0??1??x????????3?方法唯一。事实上，
?x1??1??0??0?????????x??x2??x1?0??x2?1??x3?0? ?x??0??0??1??3???????5.线性相关与无关的性质
(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明：
设a1,a2,???,at?Rn，其中有一个为零，不妨假设at?0，则
0?a1?0?a2?????0?at?1?1?0?0
因此，a1,a2,???,at线性相关。
(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明：
设a1,a2,???,at,?1,?2,???,?s?Rn，a1,a2,???,at线性相关。存在不全为零的数
k1,k2,???,kt，使得
k1a1?k2a2?????ktat?0
这样，
k1a1?k2a2?????ktat?0??1?0??2?????0??s?0
k1,k2,???,kt不全为零，因此，a1,a2,???,at,?1,?2,???,?s线性相关。
后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。
(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。 证明：
设a1,a2,???,at?Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量
?at??a1??a2?最后一个分量之后，成为??,??,???,??，b1,b2,???,bt是同维的列向量。令
?b1??b2??bt??a??ka?ka?????ktat??a??a?k1?1??k2?2?????kt?t???1122??0 ?b1??b2??bt??k1b1?k2b2?????ktbt?则k1a1?k2a2?????ktat?0。由向量组a1,a2,???,at线性相关，可以得到
k1?k2?????kt?0。结论得证！
(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明：
设a1,a2,???,at?Rn为一组向量。
必要性 若a1,a2,???,at线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,???,kt，使得
k1a1?k2a2?????ktat?0
k1,k2,???,kt不全为零，设kj?0，则
aj??k1a1?????kj?1aj?1?kj?1aj?1?????ktatkj
充分性 若a1,a2,???,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设aj可以表示成a1,???,aj?1,aj?1,???,at的线性组合，则存在一组数k1,???,kj?1,kj?1,???,kt，使得
aj?k1a1????kj?1aj?1?kj?1aj?1?????ktat
也就是
k1a1????kj?1aj?1?aj?kj?1aj?1?????ktat?0
但k1,???,kj?1,?1,kj?1,???,kt不全为零，因此，a1,a2,???,at线性无关。
【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。
(5) 若a1,a2,???,at?Rn线性无关，b?Rn，使得a1,a2,???,at,b线性相关，则b可由
a1,a2,???,at线性表示，且表示方法唯一。
证明：
a1,a2,???,at,b线性相关，因此，存在不全为零的数k1,k2,???,kt,kt?1，使得
k1a1?k2a2?????ktat?kt?1b?0
kt?1?0，否则kt?1?0，则k1a1?k2a2?????ktat?0。由a1,a2,???,at线性无关，我们
就得到k1?k2?????kt?0，这样，k1,k2,???,kt,kt?1均为零，与其不全为零矛盾！这样，
b??k1a1?k2a2?????ktat
kt?1因此，b可由a1,a2,???,at线性表示。
假设b?x1a1?x2a2?????xtat?y1a1?y2a2?????ytat，则
(x1?y1)a1?(x2?y2)a2?????(xt?yt)at?0
由a1,a2,???,at线性无关，有x1?y1?x2?y2?????xt?yt?0，即
向量组的线性相关与线性无关
