所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
第三章函数的应用
1.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为
???f(x)?????cxcA,x?A,,x?A（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装
第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是
A．75，25
B．75，16
C．60，25
D．60，16
【答案】D
2.（2011年湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况
下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （Ⅰ）当0?x?200时，求函数
v?x?的表达式;
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：
辆/每小时）
f?x??x.v?x?可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）
解：（Ⅰ）由题意：当0?x?20时,v(x)?60；当20?x?200时,设v(x)?ax?b
1?a??,??200a?b?0,?3解得???20a?b?60,?b?200.?3 ? 再由已知得
0?x?20,?60,?v(x)??1(200?x),20?x?200??3 故函数v(x)的表达式为
0?x?20,?60x,?f(x)??1x(200?x),20?x?200?3? （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当0?x?20时,f(x)为增函数，故当x?20时，其最大值为60×20=1200；
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1
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当20?x?200时，
f(x)?11x?(200?x)210000x(200?x)?[]?3323
当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立。
10000.x?100时,f(x) 所以，当在区间[20，200]上取得最大值3
10000?3333f(x) 综上，当x?100时，在区间[0，200]上取得最大值3。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
3.（2011年湖南）。如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移
动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为
c?c?R?。E移动时单位时间内
的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值
1v?c与×S成正比，比例系数为10；（2）其它面的1淋雨量之和，其值为2，记y为E移动过程中的总淋
3雨量，当移动距离d=100，面积S=2时。
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。
31|v?c|?2， 解：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为20y?100315(|v?c|?)?(3|v?c|?10)v202v，
故
（II）由（I）知
55(3c?10)y?(3c?3v?10)??15;vv当0?v?c时，
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当
c?v?10时,y?5v(3v?3c?10)?5(10?3c)v?15.
??(3c?10)?15,0?v?c,y????v?5(10?3c)?15,c?v故??v?10.
0?c?10（1）当
3时，y是关于v的减函数，
3c故当
v?10时,ymin?20?2.
10（2）当3?c?5时，在
?0,c?上，y是关于v的减函数， 在
?c,10?上，y是关于v的增函数，
v?c时,y50故当min?c.
4.（2012年高考（上海））已知函数f(x)?lg(x?1).
(1)若0?f(1?2x)?f(x)?1,求x的取值范围;
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0?x?1时,有g(x)?f(x),求函数
y?g(x)(x?[1,2])的反函数.
[解](1)由??2?2x?0,得?1?x?1.
?x?1?0由0?lg(2?2x)?lg(x?1)?lg2?2xx?1?1得1?2?2xx?1?10 因为x?1?0,所以x?1?2?2x?10x?10,?213?x?3.
由???1?x?1得??2?213?x?33?x?1 3同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3
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(2)当x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此
y?g(x)?g(x?2)?g(2?x)?f(2?x)?lg(3?x)
由单调性可得y?[0,lg2].
y因为x?3?10,所以所求反函数是y?3?10,x?[0,lg2]
x5.（2012年高考（上海春））本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第
3小题满分9分.
定义向量OM?(a,b)的“相伴函数”为f(x)?asinx?bcosx;函数
f(x)?asinx?bcosx的“相伴向量”为OM?(a,b)(其中O为坐标原点).记平
面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设g(x)?3sin(x??2)?4sinx,求证:g(x)?S;
(2)已知h(x)?cos(x??)?2cosx,且h(x)?S,求其“相伴向量”的模; (3)已知M(a,b)(b?0)为圆C:(x?2)?y?1上一点,向量OM的“相伴函数”f(x)
在x?x0处取得最大值.当点M在圆C上运动时,求tan2x0的取值范围. 证明:(1)g(x)?3sin(x?22?2)?4sinx?4sinx?3cosx
其“相伴向量”OM?(4,3),?g(x)?S (2)
h(x)?cos(x??)?2cosx?(cosxcos??sinxsin?)?2cosx??sin?sinx?(cos??2)cosx
?函数h(x)的“相伴向量”OM?(?sin?,cos??2),则
|OM|?sin2??(cos??2)2?5?4cos? (3)OM的“相伴向量”f(x)?asinx?bcosx?a2?b2sin(x??),其中
cos??aa?b22,sin??ba?b22
当x???2k???2,k?Z时,f(x)取得最在值,故当x0?2k???2??,k?Z
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
?tanx0?tan(2k???2??)?cot??a ba2tanx0b?2, ?tan2x0??1?tan2x01?(a)2b?abab2?b33bb,0)?(0.],令m?,则 为直线OM的斜率,由几何意义知?[?a33aa?tan2x0?2m?1m,m?[?33,0)?(0.] 33当?3?m?0时,函数tan2x0?321m?m2单调递减,∴0?tan2x0?3; 当0?m?3时,函数tan2x0?31m?m单调递减,∴?3?tan2x0?0.
综上所述,tan2x0???3,0???0,3??.
6.（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;21世纪教育网
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行? 解:(1)设内环线列车运行的平均速度为v千米/小时,由题意可知,
30?60?10?v?20 9v所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时. (2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18?x)列列车运行,内、外环线乘客最
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高考数学真题分类汇编第三章函数的应用含解析新人教版必修1
