A．3 B．2 C．1
D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.
――→――→――→
5．设向量OP，PQ，OQ对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( ) A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0 C．z1－z2＋z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
――→――→――→
解析：选D ∵OP＋PQ＝OQ，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________.
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i ∴?
?x＋4＝y－1，?
??x＋y＝3x－1，
解得?
?x＝6，???y＝11.
答案：6 11
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ 3＋4＝5.
答案：5 8．已知z1＝＋b＝________.
解析：∵z1－z2＝43，
3?3?
a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝?a＋33b?＋(a－b－1)i＝2?2?3
a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a2
2
2
??3a＋33b＝43，
由复数相等的条件知?2
??a－b－1＝0，
??a＝2，
解得?
??b＝1.
∴a＋b＝3.
答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．
6 / 9
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i＝1 008－1 009i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi， ∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
??x＋3＝5，∴?
?2－y＝－6，?
??x＝2，
解得?
?y＝8，?
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( ) A．0 B．1 C.21
D. 22
解析：选C 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为
2. 2
――→
2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量Z1Z2对应的复数为( )
A．3＋4i B．5－2i C．－2＋6i
D．2－6i
――→――→――→
解析：选D Z1Z2＝OZ2－OZ1，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心
D．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
――→――→
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复――→
数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是( )
7 / 9
A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i
D．4－2i
――→――→――→――→
解析：选D 依题意有CD＝BA＝OA－OB.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，――→
故CD对应的复数为4－2i，故选D.
5．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________. 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x＋y. ∴x＋yi＋x＋y＝2＋i.
2
2
2
2
?x＋x2＋y2＝2，∴?
?y＝1，
3答案：＋i
4
3??x＝，
解得?4
??y＝1.
3
∴z＝＋i.
4
――→――→――→
6．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋――→
5i，那么BC对应的复数为________．
――→――→――→――→――→――→
解析：BC＝OC－OB＝OC－(OA＋AB)＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.
答案：4－4i
7．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. ――→――→――→
(1)求向量AB，AC，BC对应的复数； (2)判断△ABC的形状． (3)求△ABC的面积．
――→
解：(1)AB对应的复数为2＋i－1＝1＋i， ――→
BC对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i， ――→
AC对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
――→――→――→
(2)∵|AB|＝2，|BC|＝10，|AC|＝8＝22， ――→2――→2――→2
∴|AB|＋|AC|＝|BC|，∴△ABC为直角三角形． 1
(3)S△ABC＝×2×22＝2.
2
8．设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i，又ω＝sin θ－icos θ，
8 / 9
求z的值和|z－ω|的取值范围．
解：∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i，∴6a＋2bi＝33＋i，
?6a＝33，∴?
?2b＝1，
3
?a＝?2，∴?
1b＝??2.
∴z＝
31
＋i， 22
∴z－ω＝?＝?
?31?
＋i?－(sin θ－icos θ) ?22?
?3??1?
－sin θ?＋?2＋cos θ?i
??2??
?3?2?1?2
?－sin θ?＋?2＋cos θ?
??2??
∴|z－ω|＝ ＝ 2－3sin θ＋cos θ ＝ 2－2?
1?3?
sin θ－cos θ?＝
2?2?
π??2－2sin?θ－?，
6??
π??∵－1≤sin?θ－?≤1，
6??
π??∴0≤2－2sin?θ－?≤4，∴0≤|z－ω|≤2， 6??故所求得z＝31
＋i，|z－ω|的取值范围是[0,2]． 22
9 / 9
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入321复数代数形式的加减运算及其几何意义教学案新人教A版2
