?a1由正项级数的比较判别法知，?(1?cos)与?2同时敛散.
nn?1n?1n?1a而?2收敛，故?(1?cos)收敛，从而原级数绝对收敛.
nn?1nn?1??
4．判别级数
?(?1)nn?2?1的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? lnn解：记un?(?1)?n?111?，则un??vn.
ln(n?1)n?1显见
?n?1???1去掉首项后所得级数?vn仍是发散的，由比较法知?un发散，从而?un发nn?1n?2n?1??1n1是Leibniz型级数，它收敛. 即?(?1)收敛，从而原
lnnln(n?1)n?2散. 又显见
?(?1)n?1?n?1级数条件收敛.
xn4．求幂级数?在收敛区间上的和函数S(x)：
n(n?1)n?1解：??liman?1n(n?1)?lim?1，所以R?1.
n??an??(n?1)(n?2)n?(?1)n又当x??1时，级数成为?，都收敛，故级数的收敛域为[?1,1].
n(n?1)n?1xn设级数的和函数为S(x)，即S(x)??.
n?1n(n?1)?xn?1再令f(x)?xS(x)??，
n(n?1)n?1??xn1n?1?逐项微分得，f?(x)??，f??(x)??x， 1?xn?1nn?1?? x 0f??(x)dx??1dx??ln(1?x)， 01?x xf?(x)?f?(0)?f?(x)??ln(1?x), f?(0)?0，
? x 0f?(x)dx???ln(1?x)dx??xln(1?x)0?? 0 xxxdx 01?x x??xln(1?x)?x?ln(1?x)?(1?x)ln(1?x)?x，
故f(x)?x?(1?x)ln(1?x)，又显然有S(1)?1，故
?1?x?1?xln(1?x), x?0,1,?S(x)??0, x?0,
?1, x?1.??5．求解微分方程
(1) 2x1?y2dx?ydy?0的所有解. 解 原方程可化为
ydy1?y22（当y?1），两边积分得?1?y2??x2?c，即 ??2xdx，
x2?1?y2?c为通解。当y2?1时，即y??1，显然满足原方程，所以原方程的全部
解为x?1?y?c及y??1。 (2) xy??y?22x2?y2;
2yy?y?解 当x?0时，原方程可化为y???1???，令?u，得y?xu，原方程化为
xx?x?xu??1?u2，解之得arcsinu?lnx?c；
y?y?当x?0时，原方程可化为y????1???，类似地可解得arcsinu??lnx?c。综
x?x?2y?lnx?cx?0;合上述，有arcsin??。
x??lnx?cx?0.(3) y??ycosx?1sin2x; 2?cosxdx?1?cosxdxdx?c??sinx?1?ce?sinx。 sin2xe解 由公式得 y?e?????2?三、求解下列各题
1． 计算下列行列式：
123456（.2）
789，
123?6?0
123解：
456?0?37891234 （3）0
0?6?12005001
00?130解：
D4?12?13.?10?(?16)??1603451
?12??30?3．设矩阵A，B满足矩阵方程AX ＝B，其中A???，B??02? , 求X ．
?10???? 解法一：先求矩阵A的逆矩阵．因为
?10?1210??1210? ?AI??????0211???01?1001??????012?1?1? 2???0 所以 A??1?2??1?1?1? ?2??1??30??0?2?? 1???02???3 1???2????2??0 且 X?AB??1??2?1 解法二： 因为 ?A?1230? B??????1002??100?2??1230? ??? ???01310232????2???0?2? 所以 X??3?
1???2?
4． 设矩阵
?10?1??? A??314????100???1??
B??5?????4??试计算A-1B．
?10?1100???解 因为 [AI]??314010 ????100001??
?10?1? ?011???001所以
00??100?310???010???101???00111??41?1? ?101??00
?001??
A?1??41?1?????101???001??1???4????????1 且 AB?41?1?5?13
?????????101?????4?????5??
2．设P?A??11,P?B??. 32 (1)若AB??，求PBA； (2) 若A?B，求PBA；
(3) 若P?AB??????1，求PBA. 8??解： (1) P(BA)=P(B)–P(AB) 因为A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)=
∴ P(BA)=P(B)=(2) ∵ P(A)=
1 21 211，由A?B知：P(AB)=P(A)= 33111 ∴ P(BA)=P(B)–P(AB)=–=
2361113(3) ?P(AB)= ∴P(BA)=P(B)–P(AB)=–=
8288 3．假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品
分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的 零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率.
解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表
示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P(A1)=P(B1)P(A1|B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3) =
1201121247??????=0.467 35033034015P(A1A2)=
?P(Bi)P(A1A2|Bi)?i?13120241121112423????????=0.220 350493302934039
高等数学(专科)复习题及答案
