2019年
【2019最新】精选高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3
讲平面向量课时规范练文
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．120°
解析：||＝1，||＝1，cos ∠ABC＝＝.
因为∠ABC∈[0°，180°]，
所以∠ABC＝30°.
答案：A
2．(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”
的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2＜0，因而是充分条
件，反之m·n＜0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件．
答案：A
3．(2017·长春中学联考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(4，－2)，且a∥b，则
|a＋b|＝( )
A. B．5 C. D.485 解析：因为a∥b，所以x·(－2)＝1×4，
得x＝－2，
所以a＋b＝(2，－1)，|a＋b|＝＝.
2019年
答案：A
4.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于( )
B．－9 D．－9 48A．－ C．－
解析：因为＝2，圆O的半径为1，所以||＝， 所以·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝＋0－1＝－.
答案：B
5．(2017·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝
3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( )(导学号 55410109)
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：令＝a，＝b，则b－a＝－＝，如图，
因为b与b－a的夹角为30°，
所以∠OBA＝30°， 因为|a|＝||＝3， 所以由正弦定理＝
→|OB| 得，|b|＝||＝6·sin ∠OAB≤6.sin ∠OAB 答案：C 二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．
解析：由题意，得－2×3＋3m＝0，
所以m＝2. 答案：2
7．(2017·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，向量，
的夹角为60°，则||＝________．
解析：向量，的夹角为60°，所以·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，又＝(＋)，
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所以
→2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即AO2 答案：
1328．(2017·济南调研)在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为
________．
解析：令角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则·＝||||cos A＝cbcos A＝tan A，
因为A＝，所以bc＝，即bc＝，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.
答案：6 三、解答题
9．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(导学号 55410110)
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由题意，得|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝cos2 x＋sin2x＝1， 因为|a|＝|b|，所以4sin2x＝1.
由x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
10．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos
B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.
(1)求B的大小；
12019年
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.
解：(1)因为p⊥q，
所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)(1＋sin B)＝0，
则sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，
即sin2B＝，
又角B是锐角三角形ABC的内角，
所以sin B＝，所以B＝60°.
(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，
所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.① 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
又b＝2，所以a2＋c2＝8，②
取立①②，解得a＝c＝2.
11．(2017·淄博诊断)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋(ω＞0)，与
f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.(导学号 55410111)
(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；
(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝1，若向量
m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值． 解：(1)f(x)＝sin 2ωx－＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin，
由于f(x)图象的对称轴x＝相邻的零点为x＝，
得·＝－＝，
所以ω＝1，则f(x)＝sin.
令z＝2x－，函数y＝sin z单调增区间是，k∈Z，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝， B＝，
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易知A∩B＝，
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
(2)sin－1＝0，
则sin＝1. 因为0＜C＜π， 所以－＜2C－＜， 从而2C－＝，解得C＝.
因为m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，
所以sin B＝2sin A， 由正弦定理得，b＝2a，①
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ，
即a2＋b2－ab＝3② 由①②解得a＝1，b＝2.
(对应学生用书P33)
[典例] (本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 规范解答：(1)因为2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
由正弦定理，得2cos C(sin A·cos B＋sin B·cos A)＝sin C，(1分)
得2cos C·sin(A＋B)＝sin C．(3分)
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，所以sin(A＋B)＝sin C＞0，
所以2cos C＝1，cos C＝.(5分) 因为C∈(0，π)，所以C＝.(6分)
(2)由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab·cos C，
得7＝a2＋b2－2ab·，
2020高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量课时规范练文
