高数总复习(上)
一、求极限的方法：
1、利用运算法则与基本初等函数的极限；
①、定理 若limf(x)?A,limg(x)?B, 则 (加减运算) lim[f(x)?g(x)]?A?B (乘法运算) limf(x)g(x)?AB
f(x)A(除法运算) 若B?0,limg(x)?B
nnn推论1: limf(x)?A,lim[f(x)]?[limf(x)]?A (n为正
整数)
推论2: limcf(x)?c[lim②结论1:a0xm?a1xm?1?limx??bxn?bxn?1?01f(x)]
?a0?b,当m?n 0?am?1x?am????0,当m?n?bn?1x?bn??,当m?n???结论2: f(x)是基本初等函数，其定义区间为D，若x0?D，
则
2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；
limf(x)?0或（limf(x)?0） ①定义1: 若x?xx??0则称f(x)是当x?x0 (或x??)时的无穷小.
定义2: ?,?是自变量在同一变化过程中的无穷小:
?若lim?1, 则称?与?是等价无穷小, 记为??②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.
性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.
?.
推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设?~??,?~??,
且lim??存在, 则
????????. lim?lim?lim?lim?????? (因式替换原则)
常用等价无穷小:
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；
①准则I(夹逼准则)若数列xn,yn,zn(n=1,2,…)满足下列条件:
(1)yn?xn?zn(n?1,2,3,(2)limy?limz?a,
nnn??n??则数列xn的极限存在, 且limxn?a.
n??);
②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 5、利用洛必达法则。
0??,,???,0??,0 未定式为类型. 0?0 ①定理(x?a时的型): 设
0f(x)?limF(x)?0; (1)limx?ax?a(2) 在某U(a,?)内, f(x)及F(x)都存在且F(x)?0;
二、求导数和微分 ： 1.定义
①导数：函数y?f(x)在x?x0处的导数：
f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)f?(x0)?lim?lim.
x?x0?x?0x?x0?x函数y?f(x)在区间I上的导函数： ②函数的微分：dy?f?(x)dx.
2.导数运算法则（须记住P140导数公式）
① 函数和差积商求导法则：函数u(x)、v(x)可导，则：
②反函数求导法则：若x??(y)的导数存在且??(y)?0， 则反函数y?f(x)的导数也存在且为 ③复合函数求导法则(链式法则)：u??(x)可导，
y?f(u)可导，
则y?f(?(x))可导，且
④隐函数求导法则: ⑤参数方程求导法则:
dy??(t)?若??(t)?0则. dx??(t)3.微分运算法则
三、求积分：
1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形
lim?f(?i)?xi 式。?af(x)dx????i?1bn?f(x)dx?0,??f(x)dx??f(x)dx
性质2：?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx 性质3：?kf(x)dx?k?f(x)dx,(k是常数).
性质1：
abbabbaaaaabbbaa性质4：
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx (去
accb绝对值, 分段函数
积分)
性质5：
?badx?b?a
2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；
①第一换元法(凑微分)：
?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)②第二换元法： ③分部积分法：
u??(x)???f(u)du???u??(x)
循环解出; 递推公式 分部化简 ;
④有理函数积分：
混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数
⑤牛顿莱布尼茨公式：
⑥定积分换元法：
5.?f(x)dx??f(?(t))??(t)dtab??(a＝?(?)b=?(?))
（换元换限，配元(凑微)不换限）
⑦定积分分部积分法：
6.?u(x)v?(x)dx??u(x)v(x)?a??u?(x)v(x)dx
aabbb⑧结论(偶倍奇零)：
① 若函数f(x)为偶函数，则
?a?af(x)dx?2?f(x)dx。
0a②若函数f(x)为奇函数，则
?a?af(x)dx?0
注意:
1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算； 2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如?0 ⑨ 变限积分求导
aa?xdx?22?a24)
四、微分和积分的应用
1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形 ① 判断单调性：
第一步：找使 f?(x)?0的点和不可导点。
第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个
区间上讨论f?(x)的正负，f?(x)?0,函数递增，
f?(x)?0,
函数递减。
② 判断凹凸性：
第一步：找使f??(x)?0的点和不可导点。
第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论f??(x)的正负， f??(x)?0，是凹区间，
f??(x)?0，是凸区间。（拐点：左右两边f??(x)的符号相反）
③ 判断函数极值：
第一步：找使 f?(x)?0的点和不可导点。
第二步：判断这些点两边f?(x)的正负，若左正
右负极大值点 左负右正极小值点。
定积分的几何应用---求面积，体积和弧长
y=f上?? (x) y=f下(x) O a b x ba
下 所求图形的面积为：S??[f上(x)?f(x)]dx
关于高等数学大一上学期知识要点
