各LSR值，即
水平 组合
均数 xij. 35.5 34.7 31.7 30.6 28.6 28.2 27.8 27.7 27.6 27.5 27.4 25.4 25.2 24.3 20.8 19.2
xij.
-19.2 16.3
** ****
xij.
20.8 14.7
** ****
xij.-24.3 11.2 10.4
****
xij.-25.2 10.3
**
xij.-25.4 10.1
**
xij.-27.4
**xij.-27.5
**xij.-27.6
**xij.-27.7
**xij.-27.8
**xij.-28.2
xij.-28.6
xij.-30.6
xij.-31.7
xij.-34.7
A2B3 A3B2 A4B1 A2B2 A1B3 A4B2 A1B2 A3B3 A3B1 A1B4 A4B3 A2B1 A2B4 A1B1 A3B4 A4B4 15.5 12.5 11.4
**
13.9 10.9
7.4 6.3 4.3 3.9 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 1.1 0.9
*
8.1 8.0 7.9 7.8 7.7
*********9.5 9.3 7.3 7.2 7.1 7.0 6.9 6.5 6.3 4.3 4.2 4.1 4.0 3.9 5.4 3.4 3.0 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 0.2
5.2 3.2 2.8 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0
3.2 1.2 0.8 0.4 0.3 0.2 0.1
3.1 1.1 0.7 0.3 0.2 0.1
3.0 1.0 0.6 0.2 0.1
7.3 6.5 3.5 2.4 0.4
*6.9 6.1 3.1 2.0
*4.9 4.1 1.1
3.8 3.0
0.8
9.4 **9.2 **8.6 **8.5
*8.4 8.3 8.2 6.2 6.0 5.1 1.6
**
**
9.8 **7.8
*7.4 *7.0 *6.9 *6.8 6.7 6.6 4.6 4.4 3.5
**
**
2.9 0.9 0.5 0.1
2.8 0.8 0.4
LSR0.05(32,16)?q0.05(32,16)Sxij.?5.25?1.2392?6.51
LSR0.01(32.16)?q0.05(32,16)Sxij.?6.17?1.2392?7.65以上述LSR值去检验各水平组合平均数间的差数，结果列于表6-34。
表6-34 各水平组合平均数比较表(T法)
各水平组合平均数的多重比较结果表明，由于钙磷交互作用的存在，最优组合(即增重好的组合) 并不是A2B2，而是A2B3，即钙含量0.8%和磷含量0.4%的组合增重效果最好。
以上的比较结果告诉我们：当A、B因素的交互作用显著时，一般不必进行两个因素主效应的显著性检验(因为这时主效应的显著性在实用意义上并不重要)，而直接进行各水平组合平均数的多重比较，选出最优水平组合。
(4)简单效应的检验 简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。检验尺度仍为(3)中的LSR0.05=6.51,LSR0.01=7.65。
①A因素各水平上B因素各水平平均数间的比较
B因素
B3(0.4) B2(0.6) B4(0.2) B1(0.8)
平均数x1j. 28.6 27.8 27.5 24.3
A1水平(1.0) x1j.-24.3
4.3 3.5 3.2 A2水平(0.8) x2j.-25.2 10.3** 5.4 0.2
x1j.-27.5 x1j.-27.8
1.1 0.3 0.8
B因素 B3(0.4) B2(0.6) B1(0.8) B4(0.2)
平均数x2j. 35.5 30.6 25.4 25.2
x2j.-25.4 x2j.-30.6 10.1** 5.2 4.9
A3水平(0.6)
B因素 B2(0.6) B3(0.4) B1(0.8) B4(0.2)
平均数x3j. 34.7 27.7 27.6 20.8
x3j.-20.8 x3j.-25.4 x3j.-27.7
13.9** 6.9* 6.8* A4水平(0.4)
7.1* 0.1 7.0*
B因素 B1(0.8) B2(0.6) B3(0.4) B4(0.2)
平均数x4j.
31.7 28.2 27.4 19.2
x4j.-19.2
12.5** 9.0** 8.2*
x4j.-27.4
4.3 0.8
x4j.-28.2
3.5
②B因素各水平上A因素各水平平均数间的比较
A因素 A4(0.4) A3(0.6) A2(0.8) A1(1.0) 平均数xi1. 31.7 27.6 25.4 24.3 B1水平(0.8) xi1.-24.3 7.4* 3.3 1.1 B2水平(0.6) xi2.-27.8 6.9* 2.8 0.4 B3水平(0.4) xi3.-27.4 8.1** 1.2 0.3 B4水平(0.2) xi4.-19.2 8.3** 6.0 1.6
xi1.-25.4 xi1.-27.6
6.3 2.2 4.1 A因素 A3(0.6) A2(0.8) A4(0.4) A1(1.0)
平均数xi2. 34.7 30.6 28.2 27.8
xi2.-28.2 xi2.-30.6
6.5 2.4 4.1
A因素 A2(0.8) A1(1.0) A3(0.6) A4(0.4) 平均数xi3. 35.5 28.6 27.7 27.4 xi3.-27.7 xi3.-28.6 7.8** 0.9 6.9* A因素 A1(1.0) A2(0.8) A3(0.6) A4(0.4)
平均数xi4. 27.5 25.2 20.8 19.2
xi4.-20.8 xi4.-25.2
6.7* 4.4 2.3
简单效应检验结果表明：当饲料中钙含量达1.0%时，磷含量各水平平均数间差异不显著；当饲料中钙含量为0.8%时，磷含量以0.4%为宜(但与磷含量为0.6%的差异不显著)；当钙为0.6%时，磷以0.6%为好，且有小猪的生长发育对磷含量的变化反应比较敏感的迹象；当钙含量为0.4%时，磷以0.8%为好(但与磷含量为0.6%、0.4%的差异不显著)；就试验中所
选择的钙磷含量水平来看，有一种随着饲料中钙含量的减少，要求磷含量增加的趋势。当磷含量0.8%时，钙以0.4%为好，但除显著高于钙为1.0%的水平外，与钙为0.6%、0.8%的差异不显著；当磷的水平为0.6%时，钙的水平也以0.6%为好，但除显著高于钙为1.0%的水平外，与钙为0.4%、0.8%的差异不显著；磷含量0.4%时，钙含量以0.8%为好；磷含量为0.2%时，钙水平达到1.0%效果较好，但与钙为0.8%的差异不显著。同样也呈现一种随着磷含量降低，钙水平应提高的趋势。
综观全试验，以A2B3(钙0.8%，磷0.4%)效果最好，钙磷含量均高或均低效果都差。
二、系统分组资料的方差分析
在生物科学的研究中，实际问题是多种多样的，有些涉及多因素问题的研究或试验用交叉分组是困难的。例如，要比较a头公畜的种用价值，就必须考虑到与配的母畜。这是因为公畜的种用价值是通过后代的表现来评定的，而后代的表现除受公畜的影响外还要受到母畜的影响。但是在同期，公畜和母畜这两个因素的不同水平(不同公畜和不同母畜)是不能交叉的，即同一头母畜不能同时与不同的公畜交配产生后代。合理的方法是，选择一些生产性能大体一致的同胎次母畜随机分配与a头公畜交配，即公畜A1与一组母畜交配，公畜A2与另一组母畜交配……。然后通过后代的性能表现来判断这些公畜的种用价值有无显著差异。又如，为了比较利用同一设备生产同一种饲料的不同班组产品质量有无差异，我们可从每班组所生产的饲料中随机抽取若干样品，每个样品作若干次测定，根据测定结果判断不同班组的产品质量有无差异。
在安排多因素试验方案时，将A因素分为a个水平，在A因素每个水平Ai下又将B因素分成b个水平，再在B因素每个水平Bij下将C因素分c个水平……，这样得到各因素水平组合的方式称为系统分组(hierarchical classification)或称多层分组、套设计、窝设计。
在系统分组中，首先划分水平的因素(上述的不同公畜、不同班组)叫一级因素(或一级样本)，其次划分水平的因素(如上述的母畜、抽取的样品)叫二级因素(二级样本，次级样本)，类此有三级因素……。在系统分组中，次级因素的各水平会套在一级因素的每个水平下，它们之间是从属关系而不是平等关系，分析侧重于一级因素。
由系统分组方式安排的多因素试验而得到的资料称为系统分组资料。根据次级样本含量是否相等，系统分组资料分为次级样本含量相等与不等两种。最简单的系统分组资料是二因素系统分组资料。
如果A因素有a个水平；A因素每个水平Ai下，B因素分b个水平；B因素每个水平Bij
下有n个观测值，则共有abn个观测值，其数据模式如表6-35所示。
表6-35 二因素系统分组资料数据模式
(i?1,2,?,a;j?1,2,?,b;j?1,,2,?,n)
一级因素
A
A1
二级因素
B B11 B12 ?x111
x121 ?观测值C xijl x112
x122 ?二级因素 总和xij.
平均xij. x11.
x12.
一级因素 总和xi.. x1..
平均xi.. x1..
… … … x11n x12n ?x11.
x12. ? ?B1b
A2 ?Aa 合计
x1b1 x211
x221 ?x2b1 ?xa11 xa21 ?xab1
x1b2 x212 x222 ?x2b2 ?aa12 xa22 ?xab2
B21 B22 ?B2b ?Ba1 Ba2 ?Bab
… … … … … … … … … …
x1bn x21n x22n ?x2bn ?xa1n xa2n ?xabn
x1b. x21. x22. ?x2b. ?xa1. xa2. ?xab.
x1b. x21.
x22.
?x2b. ?xa1. xa2. ?xab.
x2..
?
x2..
?
xa.. x…
xa.. x...
表6-35中，
xij.??xijl xij.?xij./n
l?1nxi..???xijl xi..?xi../bn
j?1l?1bbn x...????xijl x...?x.../abn
i?1j?1l?1an数学模型为
xijl????i??ij??ijl(i?1,2,?,a;j?1,2,?,b;j?1,,2,?,n) (6-36)
?i??i??,?ij??ij??i;?i、式中μ为总体平均数，?ij为Ai内Bij的效应，?i为Ai的效应，?ij分别为Ai、Bij观测值总体平均数。?ijl为随机误差，相互独立，且都服从N(0,σ)。
2
系统分组资料的数学模型与交叉分组的不同，其中不包含交互作用项；并且因素B的效应?ij是随着A的水平的变化而变化的，这就是说次级因素的同一水平在一级因素不同水平中有不同的效应。因此，须把一级因素不同水平中的次级因素同一水平看作是不同水平。至于??i，??ij是否一定为零，应视?i,?ij是固定还是随机而定。
表6-35数据的总变异可分解为A因素各水平(Ai)间的变异(一级样本间的变异)，A因素各水平(Ai)内B因素各水平(Bij)间的变异(一级样本内二级样本间的变异)和试验误差(B因素各水平内观测值间的变异)。对两因素系统分组资料进行方差分析，平方和与自由度的剖分式为：
SST=SSA+SSB(A)+SSe (6-37) dfT=dfA+dfB(A)+dfe
各项平方和与自由度计算公式如下：
总平方和及其自由度2C?x.../abnSST????i?1j?1l?1abn2(xijl?x...)?2???xi?1j?1l?12i..abn2ijl?CdfT?abn?1一级因素间平方和及其自由度SSA?bn?(xi?1ani..?x...)?21bn?xi?11na?CdfA?a?1一级因素内二级因素平方和及其自由度SSB(A)?n (6-38)
?1bn??(xi?1j?1abij.?xi..)?2??i?1j?12ab2xijl?xi?1na2i..dfB(A)?a(b?1)误差(二级因素内三级因素)平方和及其自由度SSe?SSC(B)????(xi?1j?1l?1bnijl?xij.)????i?1j?1l?1ab2xijl?1n??xi?1j?1ab2ij.dfe?dfC(B)?ab(n?1)各项均方如下：
一级因素的均方 MSA?SSA/dfA 一级因素内二级因素的均方 MSB(A)?SSB(A)/dfB(A) 误差(二级因素内三级因素)均方 MSC(B)?SSe/dfe F检验时F值的计算：
当检验一级因素时，用MSB(A)作分母，即: F?MSA/MSB(A) 当检验一级因素内二级因素时，用MSe作分母，即: F?MSB(A)/MSe 实际上，计算F值时分母项的选择是由有关因素的效应是固定还是随机所决定的(即是由数学模型决定的)，有关这方面的内容将在第四节介绍。
(一)次级样本含量相等的系统分组资料的方差分析
【例6.7】为测定3种不同来源的鱼粉的蛋白质消化率，在不含蛋白质的饲料里按一定比例分别加入不同的鱼粉A1,A2,A3，配制成饲料，各喂给3头试验动物(B)。收集排泄物、风干、粉碎、混和均匀。分别从每头动物的排泄物中各取两份样品作化学分析。测定结果(xijl)列于表6-36，试分析不同来源鱼粉的蛋白质消化率是否有显著差异。
表6-36 蛋白质的消化率 鱼粉A A1
个体B
B11 B12 B13 B21 B22 B23 B31 B32 B33
测定结果C(xijl) 82.5 82.4 87.1 86.5 84.0 83.9 86.6 86.2 87.0 82.0 80.0 79.5
85.8 85.7 87.6 81.5 80.5 80.3
xij.
xij. xi.. xi..
164.9 173.6 167.9 172.4 171.9 174.6 163.5 160.5 159.8
82.5 86.8 84.0 86.2 86.0 87.3 81.8 80.3 79.9
506.4 84.4
A2 518.9 86.5
A3 483.8 80.6
方差分析
