产生的效应不是单独添加一种氨基酸所产生效应的和，而另外多增加了30，这个30是两种氨基酸共同作用的结果。若将其平均分到每种氨基酸头上，则各为15，即估计的互作效应。
我们把具有正效应的互作称为正的交互作用；把具有负效应的互作称为负的交互作用；互作效应为零则称无交互作用。没有交互作用的因素是相互独立的因素，此时，不论在某一因素哪个水平上，另一因素的简单效应是相等的。
关于无互作和负互作的直观理解，读者可将表6-27中，A2B2位置上的数值改为482和任一小于482的数后具体计算一下即可。
下面介绍两因素有重复观测值试验结果的方差分析方法。
设A与B两因素分别具有a与b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重复，则全试验共有abn个观测值。这类试验结果方差分析的数据模式如表6-28所示。
表6-28 两因素有重复观测值试验数据模式 A因素
B1 x111 x112 ?x11n x11.
B 因 素 B2 …… x121 x122 ?x12n x12.
Bb x 1b1 x1b2 ?x1bn x1b.
Ai合计xi..
Ai平均xi..
x1jl
A1
x1j.
…… ……
?x1..
x1..
x1j.
x2jl
A2
x2j.
x11.
x211
x212 ?x21n x21. x21.
x12.
x221 x222 ?x22n x22. x22.
…… …… …… …… ……
?
x1b.
x2b1
x2b2 ?x2bn x2b.
x2..
x2..
?x2j.
? ?……
…… ……
? ?x2b.
?xab1
xab2 ?xabn xab.
?xa11 xa12 ?xa1n xa1. xa1.
?xa21 xa22 ?xa2n xa2. xa2.
xajl
Aa
xaj.
…… ……
?xa..
xa..
xaj.
Bj合计x.j. Bj平均x.j. 表6-28中
…… …… ……
…… ……
x…
xab.
x.b.
x.1. x.2.
x.1. x.2. x.b.
x...
xij.??xijll?1bnxij.??xijl/nl?1bnxi..???xijlj?1l?1annxi..???xijl/bn
j?1l?1ann
x.j.???xijli?1l?1abx.j.???xijl/ani?1l?1abx...????xijli?1j?1l?1nx...????xijl/abni?1j?1l?1n两因素有重复观测值试验的数学模型为:
xijl????i??j?(??)ij??ijl(i?1,2,?,a;j?1,2,?,b;j?1,,2,?,n) (6-32)
其中，?为总平均数；αi为Ai的效应；βj为Bj的效应；(αβ) ij为Ai与Bj的互作效应，?i??i.??,?j??.j??,(??)ij??ij??i.??.j??,?i.、?.j、?ij分别为Ai、Bj、AiBj观测
值总体平均数；且??i?0,??j?0,?(??)ij??(??)ij???(??)ij?0,?ijl为随机误差，
i?1j?1i?1j?1i?1j?1nbnbab相互独立，且都服从N(0，σ)。
两因素有重复观测值试验结果方差分析平方和与自由度的剖分式为
2
SST?SSA?SSB?SSA?B?SSedfT?dfA?dfB?dfA?B?dfe (6-33)
其中，SSA×B,dfA×B为A因素与B因素交互作用平方和与自由度。
若用SSAB,dfAB表示A、B水平组合间的平方和与自由度，即处理间平方和与自由度，则因处理变异可剖分为A因素、B因素及A、B交互作用变异三部分，于是SSAB、dfAB可剖分为：
SSAB?SSA?SSB?SSA?B (6-34)
dfAB?dfA?dfB?dfA?B各项平方和、自由度及均方的计算公式如下：
2/abn 矫正数 C?x...总平方和与自由度 SST????x1b2ijl?C，dfT?abn?1
水平组合平方和与自由度 SSAB?A因素平方和与自由度 SSA?B因素平方和与自由度 SSB??x?x?2ij. ?C，dfAB?ab?1 （6-35）?C，dfA?a?1
1bn2i..交互作用平方和与自由度 SSA?B误差平方和与自由度 SSe?SST?SSAB,dfe?ab(n?1)
相应均方为 MSA?SSA/dfB,MSB?SSB/dfB,MSA?B?SSA?B/dfA?B,MSe?SSe/dfe
【例6.6】为了研究饲料中钙磷含量对幼猪生长发育的影响，将钙(A)、磷(B)在饲料中
1x.2j.?C，dfB?b?1 an?SSAB?SSA?SSB,dfA?B?(a?1)(b?1)
的含量各分4个水平进行交叉分组试验。先用品种、性别、日龄相同，初始体重基本一致的幼猪48头，随机分成16组，每组3头，用能量、蛋白质含量相同的饲料在不同钙磷用量搭配下各喂一组猪，经两月试验，幼猪增重结果(kg)列于表6-29，试分析钙磷对幼猪生长发育的影响。
本例A因素钙的含量分4个水平，即a=4；B因素磷的含量分4个水平，即b=4；共有
ab=4×4=16个水平组合；每个组合重复数n=3；全试验共有abn=4×4×3=48个观测值。
现对本例资料进行方差分析如下：
表6-29 不同钙磷用量(%)的试验猪增重结果(kg)
x1j1
A1(1.0)
x1jl
x1j.
B1(0.8) 22.0 26.5 24.4 72.9 24.3 23.5 25.8 27.0 76.3 25.4 30.5 26.8 25.5 82.8 27.6 34.5 31.4 29.3 95.2 31.7 327.2 27.3 B2(0.6) 30.0 27.5 26.0 83.5 27.8 33.2 28.5 30.1 91.8 30.6 36.5 34.0 33.5 104.0 34.7 29.0 27.5 28.0 84.5 28.2 363.8 30.3 B3(0.4) 32.4 26.5 27.0 85.9 28.6 38.0 35.5 33.0 106.5 35.5 28.0 30.5 24.6 83.1 27.7 27.5 26.3 28.5 82.3 27.4 357.8 29.8 B4(0.2) 30.5 27.0 25.1 82.6 27.5 26.5 24.0 25.0 75.5 25.2 20.5 22.5 19.5 62.5 20.8 18.5 20.0 19.0 57.5 19.2 278.1 23.2 Ai合计xi.. 324.9
Ai平均xi.. 27.1 29.2 27.7 26.6 27.6 350.1 332.4 319.5 1326.9 x2jl
A2(0.8)
x2j.
x2j.
x3jl
A3(0.6)
x3j.
x3j.
x4jl
A4(0.4)
x4j.
x4j.
Bj合计x.j. Bj平均x.j. 1、计算各项平方和与自由度
2C?x.../abn?1326.92/(4?4?3)?36680.4919
SST??37662.8100?36680.4919?982.31812?C?(22.02?26.52???20.02?19.02)?36680.4919???xijl
SSAB?112x?C?(72.92?83.52???57.52)?36680.4919 ?ij.n3?37515.3967?36680.4919?834.9048SSA?11xi2(324.92?350.12?332.42?319.52)?36680.4919..?C?bn4?3?36725.0025?36680.4919?44.5106?11SSB?x.2j.?C?(327.22?363.82?357.82?278.12)?36680.4919an4?3?37064.2275?36680.4919?383.7356
?SSA?B?SSAB?SSA?SSB?834.9048?44.5106?383.7356?406.6586
SSe?SST?SSAB?982.3181?834.9048?147.4133dfT?abn?1?4?4?3?1?47dfAB?ab?1?4?4?1?15dfA?a?1?4?1?3dfB?b?1?4?1?3dfA?B?(a?1)(b?1)?(4?1)(4?1)?9dfe?ab(n?1)?4?4(3?1)?32
2、列出方差分析表，进行F检验
表6-30 不同钙磷用量方差分析表
变异来源 钙(A) 磷(B) 互作(A×B)
误差
平方和 44.5106 383.7356 406.6586 147.4133
自由度 3 3 9 32
均方 14.8367 127.9119 45.1843 4.6067
F值 3.22* 27.77** 9.81**
总变异 982.3181 47 查临界F值：F0.05(3,32)=2.90，F0.01(3,32)=4.47，F0.01(9,32)=3.02。因为，FA＞F0.05(3,32)；FB＞F0.01(3,32)；FA×B＞F0.01(9,32)，表明钙、磷及其互作对幼猪的生长发育均有显著或极显著影响。因此，应进一步进行钙各水平平均数间、磷各水平平均数间、钙与磷水平组合平均数间的多重比较和进行简单效应的检验。
3、多重比较
(1)钙含量(A)各水平平均数间的比较 不同钙含量平均数多重比较表见表6-31。
表6-31 不同钙含量平均数比较表(q法) 钙含量(%) A2(0.8) A3(0.6) A1(1.0) A4(0.4) 平均数xi.. 29.2 27.7 27.1 26.6
xi..-26.6
xi.. -27.1
xi.. -27.7
2.6* 1.1 0.5 2.1 0.6 1.5
因为A因素各水平的重复数为bn，故A因素各水平的标准误(记为Sxi..)的计算公式为：
Sxi..?MSe/bn
此例，Sxi..?4.6067/(4?3)?0.6196
由dfe=32，秩次距k=2,3,4，从附表5中查出α=0.05与α=0.01的临界q值，乘以
Sxi..=0.6196，即得各LSR值，所得结果列于表6-32。
表6-32 q值与LSR值表
dfe 32
秩次距k
2 3 4
q0.05 2.88 3.47 3.83
q0.01 3.88 4.43 4.78
LSR0.05 1.78 2.15 2.37
LSR0.01 2.40 2.74 2.96
检验结果标记在表6-33中。
(2)磷含量(B)各水平平均数间的比较 不同磷含量平均数多重比较表见表6-33。
表6-33 不同磷含量平均数比较表(q法) 磷含量(%) B2(0.6) B3(0.4) B1(0.8) B4(0.2) 平均数x.j. 30.3 29.8 27.3 23.2
x.j.-23.2
x.j.-27.3
x.j.-29.8
7.1** 6.6** 4.1**
3.0** 2.5**
0.5
因B因素各水平的重复数为an，故B因素各水平的标准误(记为Sx.j.)的计算公式为：
Sx.j.?MSe/an
在本例，由于A、B两因素水平数相等，即a=b=4，故Sx.j.?Sxi..?0.6196。因而，A、B两因素各水平比较的LSR值是一样的，所以用表6-32的LSR值去检验B因素各水平平均数间差数的显著性，结果见表6-33。
以上所进行的两项多重比较，实际上是A、B两因素主效应的检验。结果表明，钙的含量以占饲料量的0.8%(A2)增重效果最好；磷的含量以占饲料量的0.6%(B2)增重效果最好。若A、B因素交互作用不显著，则可从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平相组合，得到最优水平组合；若A、B因素交互作用显著，则应进行水平组合平均数间的多重比较，以选出最优水平组合，同时可进行简单效应的检验。
(3)各水平组合平均数间的比较 因为水平组合数通常较大(本例ab=4×4=16)，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。所谓T检验法，实际上就是以q检测法中秩次距k最大时的LSR值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显著性。
因为水平组合的重复数为n，故水平组合的标准误（记为Sxij.）的计算公式为：
Sxij.?MSe/n
此例 Sxij.?MSe/n?4.6067/3?1.2392
由dfe=32，k=16从附表5中查出?=0.05、?=0.01的临界q值，乘以Sxij.=1.2392，得
方差分析
