比较一次。例如，在一个试验中共有4个处理，设计时已确定只是处理1与处理2、处理
3与处理4(或1与3、2与4；或1与4、2与3)比较，而其它的处理间不进行比较。因为这种比较形式实际上不涉及多个均数的极差问题，所以不会增大犯I型错误的概率。
综上所述，对于多个处理平均数所有可能的两两比较，LSD法的优点在于方法比较简便，克服一般t检验法所具有的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的秩次，故仍有推断可靠性低、犯I型错误概率增大的问题。为克服此弊病，统计学家提出了最小显著极差法。
（二）最小显著极差法(LSR法 ,Least significant ranges) LSR法的特点是把平均
数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数(称为秩次距)k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足。这些在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差LSR。例如有10个x要相互比较，先将10个x依其数值大小顺次排列，两极端平均数的差数(极差)的显著性，由其差数是否大于秩次距k=10时的最小显著极差决定(≥为显著，＜为不显著＝；而后是秩次距k=9的平均数的极差的显著性，则由极差是否大于k=9时的最小显著极差决定；……直到任何两个相邻平均数的差数的显著性由这些差数是否大于秩次距k=2时的最小显著极差决定为止。因此，有k个平均数相互比较，就有k-1种秩次距(k，…，2)，因而需求得k-1个最小显著极差(LSR?,k)，k-1，k-2，分别作为判断具有相应秩次距的平均数的极差是否显著的标准。
因为LSR法是一种极差检验法，所以当一个平均数大集合的极差不显著时，其中所包含的各个较小集合极差也应一概作不显著处理。
LSR法克服了LSD法的不足，但检验的工作量有所增加。常用的LSR法有q检验法和新
复极差法两种。
1、q检验法(q test) 此法是以统计量q的概率分布为基础的。q值由下式求得：
q??/Sx (6-20)
式中，ω为极差，Sx?MSe/n为标准误，q分布依赖于误差自由度dfe及秩次距k。
利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，不是将由(6-20)式算出的q值与临界q值
qa(dfe,k)比较，而是将极差与qa(dfe,k)Sx比较，从而作出统计推断。qa(dfe,k)Sx即为α水平上的
最小显著极差。
LSRa?qa(dfe,k)Sx (6-21)
当显著水平α=0.05和0.01时，从附表5(q值表)中根据自由度dfe及秩次距k查出
q0.05(dfe,k)和q0.01(dfe,k)代入(6-21)式得
LSR0.05,k?q0.05(dfe,k)SxLSR0.01,k?q0.01(dfe,k)Sx(1)列出平均数多重比较表；
(6-22)
实际利用q检验法进行多重比较时，可按如下步骤进行：
(2)由自由度dfe、秩次距k查临界q值，计算最小显著极差LSR0.05,k，LSR0.01,k；
(3)将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差LSR0.05,k, LSR0.01,k比较，作出统计推断。
对于【例6.1】，各处理平均数多重比较表同表6-4。在表6-4中，极差1.54、1.68、3.22的秩次距为2；极差3.22、4.90的秩次距为3；极差6.44的秩次距为4。
因为，MSe=5.34，故标准误Sx为
Sx?MSe/n?5.34/5?1.033
根据dfe=16，k=2,3，4由附表5查出??0.05、0.01水平下临界q值，乘以标准误Sx求得各最小显著极差，所得结果列于表6-5。
表6-5 q值及LSR值
dfe 16
秩次距k
2 3 4
q0.05 3.00 3.65 4.05
q0.01 4.13 4.79 5.19
LSR0.05 3.099 3.770 4.184
LSR0.01 4.266 4.948 5.361
将表6-4中的极差1.54、1.68、3.22与表6-5中的最小显著极差3.099、4.266比较；将极差3.22、4.90与3.770、4.948比较；将极差6.44与4.184、5.361比较。检验结果，除A4与 A3的差数3.22由LSD法比较时的差异显著变为差异不显著外，其余检验结果同LSD法。
2、新复极差法(new multiple range method) 此法是由邓肯(Duncan)于1955年提
出，故又称Duncan法，此法还称SSR法(shortest significant ranges)。
新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表(附表6)而不是查q值表。最小显著极差计算公式为
LSRa,k?SSRa(dfe,k)Sx (6-23)
其中SSR?(dfe,k)是根据显著水平α、误差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的临界SSR值，Sx?MSe/n。α=0.05和α=0.01水平下的最小显著极差为：
LSR0.05,k?SSR0.05(dfe,k)Sx (6-24)
LSR0.01,k?SSR0.01(dfe,k)Sx对于【例6.1】，各处理均数多重比较表同表6-4。
已算出Sx=1.033，依dfe=16, k=2,3,4,由附表6查临界SSR0.05(16,k)和SSR0.01(16,k)值，乘以Sx=1.033，求得各最小显著极差，所得结果列于表6-6。
表6-6 SSR值与LSR值
dfe 秩次距k SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.00 4.13 3.099 4.266 16 3 3.15 4.34 3.254 4.483 4 3.23 4.45 3.337 4.597 将表6-4中的平均数差数(极差)与表6-6中的最小显著极差比较，检验结果与q检验法相同。
当各处理重复数不等时，为简便起见，不论LSD法还是LSR法，可用(6-25)式计算出
一个各处理平均的重复数n0，以代替计算Sxi.?xj.或Sx所需的n。
?ni2?1?n0???ni?? (6-25)
k?1??n?i??式中k为试验的处理数，ni (i=1,2,…,k)为第i处理的重复数。 以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度有如下关系：
法≤新复极差法≤q检验法 LSD
当秩次距k=2时，取等号；秩次距k≥3时，取小于号。在多重比较中，LSD法的尺度最小，q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。用上述排列顺序前面方法检验显著的差数，用后面方法检验未必显著；用后面方法检验显著的差数，用前面方法检验必然显著。一般地讲，一个试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的H0的相对重要性来决定。如果否定正确的H0是事关重大或后果严重的，或对试验要求严格时，用q检验法较为妥当；如果接受一个不正确的H0是事关重大或后果严重的，则宜用新复极差法。生物试验中，由于试验误差较大，常采用新复极差法；F检验显著后，为了简便，也可采用LSD法。
（三）多重比较结果的表示法 各平均数经多重比较后，应以简明的形式将结果
表示出来，常用的表示方法有以下两种。
1、三角形法 此法是将多重比较结果直接标记在平均数多重比较表上，如表6-4所
示。由于在多重比较表中各个平均数差数构成一个三角形阵列，故称为三角形法。此法的优点是简便直观，缺点是占的篇幅较大。
2、标记字母法 此法是先将各处理平均数由大到小自上而下排列；然后在最大平均
数后标记字母a，并将该平均数与以下各平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字母a，直到某一个与其差异显著的平均数标记字母b；再以标有字母b的平均数为标准，与上方比它大的各个平均数比较，凡差异不显著一律再加标b，直至显著为止；再以标记有字母b的最大平均数为标准，与下面各未标记字母的平均数相比，凡差异不显著，继续标记字母b，直至某一个与其差异显著的平均数标记c；……；如此重复下去，直至最小一个平均数被标记比较完毕为止。这样，各平均数间凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡无相同字母的即为差异显著。用小写拉丁字母表示显著水平α=0.05，用大写拉丁字母表示显著水平α=0.01。在利用字母标记法表示多重比较结果时，常在三角形法的基础上进行。此法的优点是占篇幅小，在科技文献中常见。
对于【例6.1】，现根据表6-4所表示的多重比较结果用字母标记如表6-7所示(用新复极差法检验，表6-4中A4与A3的差数3.22在α=0.05的水平上不显著，其余的与LSD法同)。
表6-7 表6-4多重比较结果的字母标记(SSR法)
处理 A1 A4 A2 A3
平均数xi. 31.18 27.96 26.28 24.74
α=0.05 a b b b
α=0.01 A AB B B
在表6-7中，先将各处理平均数由大到小自上而下排列。当显著水平α=0.05时，先在
平均数31.18行上标记字母a；由于31.18与27.96之差为3.22，在α=0.05水平上显著，所以在平均数27.96行上标记字母b；然后以标记字母b的平均数27.96与其下方的平均数26.28比较，差数为1.68，在α=0.05水平上不显著，所以在平均数26.28行上标记字母b；再将平均数27.96与平均数24.74比较，差数为3.22，在α=0.05水平上不显著，所以在平均数24.74行上标记字母b。类似地，可以在α=0.01将各处理平均数标记上字母，结果见表6-7。q检验结果与SSR法检验结果相同。
由表6-7看到，A1饲料对鱼的平均增重极显著地高于A2和A3饲料，显著高于A4饲料；A4、A2、A3三种饲料对鱼的平均增重差异不显著。四种饲料其中以A1饲料对鱼的增重效果最好。
应当注意，无论采用哪种方法表示多重比较结果，都应注明采用的是哪一种多重比较法。
*
六、单一自由度的正交比较
在从事一项试验时，试验工作者往往有一些特殊问题需要回答。这可以通过有计划地安排一些处理，以便从中获得资料进行统计检验，据以回答各种问题。
【例6.2】 某试验研究不同药物对腹水癌的治疗效果，将患腹水癌的25只小白鼠随机分为5组，每组5只。其中A1组不用药作为对照，A2、A3为用两个不同的中药组，A4、A5为用两个不同的西药组，各组小白鼠的存活天数如表6-8所示。
表6-8 用不同药物治疗患腹水癌的小白鼠的存活天数
药物 各鼠存活天数（xij） 合计xi. 平均xi. A1 15 16 15 17 18 81 16.2 A2 45 42 50 38 39 214 42.8 A3 30 35 29 31 35 160 32.0 A4 31 28 20 25 30 134 26.8 A5 40 35 31 32 30 168 33.6
x..=757 合计
这是一个单因素试验，其中k=5,n=5，按照前面介绍的方法进行方差分析（具体计算过程略），可以得到方差分析表，见表6-9。
表6-9 表6-8资料方差分析表
变异来源 平方和 自由度 均方 处理间 1905.44 4 476.36 处理内 277.60 20 13.88 总变异 2183.04 24 对于【例6.2】资料，试验者可能对下述问题感兴趣： (1)不用药物治疗与用药物治疗； (2)中药与西药； (3)中药A2与中药A3； (4)西药A4与西药A5； 相比结果如何?
显然，用前述多重比较方法是无法回答或不能很好地回答这些问题的。如果事先按照一定的原则设计好(k-1)个正交比较，将处理间平方和根据设计要求剖分成有意义的各具一个
F值
34.22**
自由度的比较项，然后用F检验(此时df1=1)便可明确地回答上述问题。这就是所谓单一自由度的正交比较(orthogonal comparison of single degree of freedom)，也叫单一自由度的独立比较(independent comparison of single degree of freedom)。单一自由度的正交比较有成组比较和趋势比较两种情况，后者要涉及到回归分析。这里结合解答【例6.2】的上述四个问题，仅就成组比较予以介绍。
首先将表6-8各处理的总存活天数抄于表6-10，然后写出各预定比较的正交系数Ci(orthogonal coefficient)。
表6-10 【例6.2】资料单一自由度正交比较的正交系数和平方和的计算 比 较 A1与A2+ A3+ A4+ A5 A2+ A3与A4+ A5
A2与A3 A4与A5
合 计
A1 81 +4 0 0 0
处理和各处理存活总天数 A2 A3 A4 A5 214 160 134 168 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 0 0 0 0 +1 -1
Di -352
72 54 -34
ΣCi 20 4 2 2
2
SSi 1239.04 259.20 291.60 115.60 1905.44
表6-10中各比较项的正交系数是按下述规则构成的：
(1)如果比较的两个组包含的处理数目相等，则把系数+1分配给一个组的各处理，把系数-1分配给另一组的各处理，至于哪一组应取正号还是负号是无关紧要的。如A2+A3与A4+A5两组比较(属中药与西药比较)，A2、A3两处理各记系数+1，A4、A5两处理各记系数-1。
(2)如果比较的两个组包含的处理数目不相等，则分配到第一组的系数等于第二组的处理数；而分配到第二组的系数等于第一组的处理数，但符号相反。如A1与A2+A3+A4+A5的比较，第一组只有1个处理，第二组有4个处理，故分配给A1处理的系数为+4，而分配给处理A2、A3、A4、A5的系数为-1。又如，假设在5个处理中，前2个处理与后3个处理比较，其系数应是+3、+3、-2、-2、-2。
(3)把系数约简成最小的整数。例如，2个处理为一组与4个处理为一组比较，依照规则(2)有系数+4、+4、-2、-2、-2、-2，这些系数应约简成+2、+2、-1、-1、-1、-1。
(4)有时，一个比较可能是另两个比较互作的结果。此时，这一比较的系数可用该两个比较的相应系数相乘求得。如包含4个处理的肥育试验中，两种水平的试畜(B1,B2)和两种水平的饲料(F1,F2)，其比较举例如下：
比较 B1F1 B1F2 B2F1 B2F2 品种间(B) -1 -1 +1 +1 饲料间(F) -1 +1 -1 +1 B×F间 +1 -1 -1 +1 表中第1和第2两比较的系数是按照规则(1)得到的；互作的系数则是第1、2行系数相乘的结果。
各个比较的正交系数确定后，便可获得每一比较的总和数的差数Di，其通式为：
Di??Cixi. (6-26)
其中Ci为正交系数，xi.为第i处理的总和。这样表6-10中各比较的Di为：
D1=4×81-1×214-1×160-1×134-1×168=-352
方差分析
