第一章 函数与导数
专题01 函数的图象与性质及其应用
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，函数图象和性质及其应用问题，常常出现在压轴题的位置，考查的类型主要有： 1.分段函数的图象与性质问题，往往通过分类讨论，将函数在不同定义域内的图象进行刻画或讨论，有时借助导数这一工具进行研究；
2.函数的零点问题，根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．函数零点问题常常涉及零点个数问题、零点所在区间问题及零点相关的代数式取值问题，解决的途径常以数形结合的思想，通过化归与转化灵活转化问题；
3.抽象函数问题，由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，解决此类问题时，需要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题；
4. 函数性质的综合应用问题，函数性质包括奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对函数性质的熟练掌握与刻画是解决函数综合题目的必然要求；
5.函数与不等式的综合问题，主要有解不等式、及根据不等式确定参数（范围）问题.函数的图象与不等式，往往涉及数形结合思想、转化与化归思想； 6.函数中的新定义问题.
【压轴典例】
例1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数f(x)的定义域为R，满足f(x?1)?2 f(x)，且当x?(0,1]时，
8f(x)?x(x?1)．若对任意x?(??,m]，都有f(x)??，则m的取值范围是（ ）
99?7???A．???,? B．???,?
43????C．???,? 2??5??
D．???,?
3??8??【答案】B
【解析】∵f(x?1)?2 f(x)，?f(x)?2f(x?1)． ∵x?(0,1]时，f(x)?x(x?1)?[?,0]；
1
14
∴x?(1,2]时，x?1?(0,1]，f(x)?2f(x?1)?2(x?1)(x?2)????1?,0?； 2??∴x?(2,3]时，x?1?(1,2]，f(x)?2f(x?1)?4(x?2)(x?3)?[?1,0]， 如图：
878当x?(2,3]时，由4(x?2)(x?3)??解得x1?，x2?，
93378若对任意x?(??,m]，都有f(x)??，则m?.
937??则m的取值范围是???,?.
3??故选B.
例2.【2016·全国卷Ⅱ】已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝mx＋1
与y＝f(x)图象的交x点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则? (xi＋yi)＝( )
i＝1
A．0 C．2m 【答案】B 【解析】
法一：利用函数的对称性
B．m D．4m
由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)＝2，所以点(x，f(x))与点(－x，f(－x))连线的中点是(0,1)，故函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0，即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，令F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即F(x)＝f(x)－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F(x)的图象可看成是f(x)的图象向下平移一个单位得到的，故f(x)的图象关于点(0,1)对称)．又y＝
x＋11
＝1＋的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)xx 2
mmm对称，所以对于每一组对称点xi＋xi′＝0，yi＋yi′＝2，所以? (xi＋yi)＝?xi＋?yi＝0＋2×＝m，故选
2i＝1i＝1i＝1B.
法二：构造特殊函数
由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0， 即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0. 令F(x)＝f(x)－1，则F(x)为奇函数， 即f(x)－1为奇函数，从而可令f(x)－1＝x， 即f(x)＝x＋1，显然该函数满足此条件． 此时y＝f(x)与y＝
mmx＋1
的交点分别为(1,2)和(－1,0)， x所以m＝2，? (xi＋yi)＝1＋2＋(－1)＋0＝2，
i＝1
结合选项可知选B. 答案：B 【思路点拨】
(1)由于题目条件中的f(x)没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f(－x)＝2－f(x)，即f(x)(x∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关． (2)易知函数y＝
x＋1
关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f(x)(x∈R)的图象x是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f(x)的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f(x)来求解． 例3. 【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知定义在上的函数都有
；②对任意的
且
，都
满足条件：①对任意的
，
有；③函数的图象关于轴对
称，则下列结论正确的是 （ ） A． C． 【答案】C 【解析】 ∵对任意的
，都有
；
B． D．
∴函数是4为周期的周期函数，
3
2020高考数学之冲破压轴题讲与练 专题01 函数的图象与性质及其应用【解析版】
