若 p 真 q 假,则 a >1 且 a ≥ 综上,实数 a 的取值范围是{a|0< a ?
1
,或 a ?1}. ……………………………10 分 1 3
18.解:(1)∵ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2
由题得 f ?( ? 1 ) ? 0 ,且 f ?(1) ? 0 , 3
?1 2a
? b ? 0, ? ? 3 即 ? 3 解得 a ? ? 1,b ? ?1.
,
?
于是 f ?( ?1) ? 4 , 即 k=4,
?
………………………………………2 分
3 ? 2 a ? b ? 0
故切线方程为 y=4x+4.
高二数学(文科)参考答案第1页(共 4 页)
因为切点在切线上,所以 f ( ?1) ? 4 ? ( ?1) ? 4 ? 0 , 将 ( ?1,0) 代入 f ( x) ,解得 c ? 1 ,
∴ f ( x) ? x ? x ? x ?1 .………………………………………………………………3 分
3
2
∴ g ( x) ? x ? x ? x ? 1 ? mx .
由题得 g ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 有两个不相等的实根, ∴ ??? (?2) ? 4 ? 3 ? (?1 ? m) >0,
解得 m> ?
2
32
2
4
3 .……………………………………………………………………………5 分
2
(2)由题得 h ( x ) ? f ( x) 在[ ?2,1] 上有两个不同的解,
即 n ? x ? 3 x ? 9 x ?1 在[ ?2,1] 上有两个不同的解. ………………………………7 分
3
令 F ( x) ? x ? 3x ? 9 x ?1 , x ? [ ?2,1] , 则 F ?( x) ? 3x ? 6 x ?9 ,
由 F ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 3 ,
2
32
由 F ?( x) ? 0 得 ? 1 ? x ? 3 ,
因为 x ? [ ?2,1] ,所以 F ( x) 在 ( ?2,?1) 上单调递增,
在 ( ?1,1) 上单调递减,
∴ F ( x ) max ? F ( ?1) ? 6 . ∵ F ( ?2) ? ?1,F (1) ? ?10 , ∴ h ( x) min ? ?10 ,
由图象知-1≤n<6.……………………………………………………………………10 分
19.解:(1)∵ f ?( x) ? e x ? 2x ,
∴ [ f ?( x)]??? e ? 2 , 由 e ? 2 >0,解得 x>ln2, 由 e ? 2 <0,解得 0≤x在 (ln 2,???) 单调递增,
∴ f ?( x) ≥ f ?(ln 2) =2-2ln2>0,
∴ f ( x) 在[0,???) 上单调递增. ……………………………………………………4 分
xx
x
(2)设 f ( 2e ) ? ( 2e ) = ln
x1x1
2
x2
2 =m ,
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则 e 2e = ln x =m ,
2
x1
1
x
2
∵ x1∈R,则 e ? 0 ,即 m>0,
2e
x2
故 2e =lnm , ln 2 =m ,
∴ x1 =2e ln m , x2 =2e ,即 x2 ? x1 =2e ? 2eln m ,
m
m
x1
(m>0).…………………………6 分令 h( x)=2e ? 2e ln x (x>0), 则 h?( x)=2e ?
x
x
x
2e
x ,
因为 y= 2e 和 y= ?
2e
x 在 (0,???) 上均单调递增,
所以 h ?( x) 在 (0,???) 上单调递增,且 h?(1)=0 ,
∴ 当 x ? 1 时, h ?( x) >0, 当 0 ? x ? 1 时, h ?( x) <0, ∴ h ( x) 在 (0,1) 上单调递减,
在 (1,???) 上单调递增, ……………………………………………………9 分
∴ 当 x=1 时, h ( x) 取最小值,此时 h(1)=2e ,
即 x2-x1 最小值是 2e .…………………………………………………………………10 分
20.解:(1)∵ 直线 l 的参数方程为 ?
1
t , ?x ? ? 2 ? ? ?
?y ? a ?
(t 为参数,a 为常数),
2
?
3
t
2
x ? y ? a ? 0 . ……………………………………2 分 消去参数 t 得 l 的普通方程为 3
由 ? sin ? ? 4sin? ? ? ,得 ? sin ? ? 4 ? sin? ? ? , 即 y ? 4y ? x ? y ,整理得 x=4y.
2
2
2
2
2
2
2
故曲线 C 的直角坐标方程为 x=4y. …………………………………………………5 分 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线中得 t ? 83t ? 16a ? 0 , ……………………6 分 于是由 Δ=64(a+3)>0, 解得 a>-3,
且 t1+t2= ?83 ,t1t2=-16a,……………………………………………………………8 分
2
2
∴ AB ? t1 ? t 2 ??(t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? 8a ? 3 ? 24 ,
解得 a=6.………………………………………………………………………………10 分
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2
21 .解:(1) f ( x ) ? x ? 2 ? 2 x ?1 ≤x+3,
于是当 x≥1 时,原不等式等价于 3x≤x+3,
3
解得 1≤x≤ 2 ;
当-21
解得 2 ≤x≤1;
当 x≤-2 时,原不等式等价于-3x≤x+3,无解;
1 3
综上,原不等式的解集为[ 2 ,2] .……………………………………………………5 分
(2)由题意,存在实数 x,使得不等式 x ? 2 ? x ? m ≤3 成立,
则只需 ( x ? 2 ? x ? m )min ≤3,
又 x ? 2 ? x ? m ≥ x ? 2 ? x ? m ? m ? 2 ,当 ( x ? 2)( x ? m) ≤0 时取等号.所以 m ? 2 ≤3,
解得-5≤m≤1. ………………………………………………………………………10 分
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