绵阳市高中 2017 级第二学年末教学质量测试
1．D 7．D
数学(文科)试题参考答案及评分标准
一．选择题：本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．
2．C 8．A
3．B 9．D
4．B 10．A
5．A 11．B
6．D 12．D
二．填空题：本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分．
13． 1 ? 3 i
5 5
14．x+ey-2e=0
15．1
16．( ??，? 2) ∪ (0，???)
三．解答题：本大题共 4 个小题，共 40 分．
17．解：（1）由题知，命题 p 为真时，a >1 ．…………………………………………1 分
?a ? 0， ?a ? 0，
命题 q 为真时，得 ?
即
?
???? 0，
， 解得 0< a ? 1
?4 ? 12 a ? 0，
3
1 ∴ q 为真时，0< a ? ． ………………………………………………………………4 分
3
因为 p ? q 为真， p ? q 为假，
所以命题 p 和命题 q 有且只有一个为真．……………………………………………5 分
3 ，得 a ?1； 11
若 p 假 q 真，则 0 若 p 真 q 假，则 a >1 且 a ≥ 综上，实数 a 的取值范围是{a|0< a ? 1 ，或 a ?1}． ……………………………10 分 1 3 18．解：（1）∵ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ， 2 由题得 f ?( ? 1 ) ? 0 ，且 f ?(1) ? 0 ， 3 ?1 2a ? b ? 0， ? ? 3 即 ? 3 解得 a ? ? 1，b ? ?1． ， ? 于是 f ?( ?1) ? 4 ， 即 k=4， ? ………………………………………2 分 3 ? 2 a ? b ? 0 故切线方程为 y=4x+4． 高二数学（文科）参考答案第1页（共 4 页） 因为切点在切线上，所以 f ( ?1) ? 4 ? ( ?1) ? 4 ? 0 ， 将 ( ?1，0) 代入 f ( x) ，解得 c ? 1 ， ∴ f ( x) ? x ? x ? x ?1 ．………………………………………………………………3 分 3 2 ∴ g ( x) ? x ? x ? x ? 1 ? mx ． 由题得 g ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 有两个不相等的实根， ∴ ??? (?2) ? 4 ? 3 ? (?1 ? m) >0， 解得 m> ? 2 32 2 4 3 ．……………………………………………………………………………5 分 2 （2）由题得 h ( x ) ? f ( x) 在[ ?2，1] 上有两个不同的解， 即 n ? x ? 3 x ? 9 x ?1 在[ ?2，1] 上有两个不同的解． ………………………………7 分 3 令 F ( x) ? x ? 3x ? 9 x ?1 ， x ? [ ?2，1] ， 则 F ?( x) ? 3x ? 6 x ?9 ， 由 F ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 3 ， 2 32 由 F ?( x) ? 0 得 ? 1 ? x ? 3 ， 因为 x ? [ ?2，1] ，所以 F ( x) 在 ( ?2，?1) 上单调递增， 在 ( ?1，1) 上单调递减， ∴ F ( x ) max ? F ( ?1) ? 6 ． ∵ F ( ?2) ? ?1，F (1) ? ?10 ， ∴ h ( x) min ? ?10 ， 由图象知-1≤n<6．……………………………………………………………………10 分 19．解：（1）∵ f ?( x) ? e x ? 2x ， ∴ [ f ?( x)]??? e ? 2 ， 由 e ? 2 >0，解得 x>ln2， 由 e ? 2 <0，解得 0≤x 在 (ln 2，???) 单调递增， ∴ f ?( x) ≥ f ?(ln 2) =2-2ln2>0， ∴ f ( x) 在[0，???) 上单调递增． ……………………………………………………4 分 xx x （2）设 f ( 2e ) ? ( 2e ) = ln x1x1 2 x2 2 =m ， 高二数学（文科）参考答案第2页（共 4 页） 则 e 2e = ln x =m ， 2 x1 1 x 2 ∵ x1∈R，则 e ? 0 ，即 m>0， 2e x2 故 2e =lnm ， ln 2 =m ， ∴ x1 =2e ln m ， x2 =2e ，即 x2 ? x1 =2e ? 2eln m ， m m x1 (m>0)．…………………………6 分令 h( x)=2e ? 2e ln x (x>0)， 则 h?( x)=2e ? x x x 2e x ， 因为 y= 2e 和 y= ? 2e x 在 (0，???) 上均单调递增， 所以 h ?( x) 在 (0，???) 上单调递增，且 h?(1)=0 ， ∴ 当 x ? 1 时， h ?( x) >0， 当 0 ? x ? 1 时， h ?( x) <0， ∴ h ( x) 在 (0，1) 上单调递减， 在 (1，???) 上单调递增， ……………………………………………………9 分 ∴ 当 x=1 时， h ( x) 取最小值，此时 h(1)=2e ， 即 x2-x1 最小值是 2e ．…………………………………………………………………10 分 20．解：（1）∵ 直线 l 的参数方程为 ? 1 t ， ?x ? ? 2 ? ? ? ?y ? a ? （t 为参数，a 为常数）， 2 ? 3 t 2 x ? y ? a ? 0 ． ……………………………………2 分 消去参数 t 得 l 的普通方程为 3 由 ? sin ? ? 4sin? ? ? ，得 ? sin ? ? 4 ? sin? ? ? ， 即 y ? 4y ? x ? y ，整理得 x=4y． 2 2 2 2 2 2 2 故曲线 C 的直角坐标方程为 x=4y． …………………………………………………5 分 （2）将直线 l 的参数方程代入曲线中得 t ? 83t ? 16a ? 0 ， ……………………6 分 于是由 Δ=64(a+3)>0， 解得 a>-3， 且 t1+t2= ?83 ，t1t2=-16a，……………………………………………………………8 分 2 2 ∴ AB ? t1 ? t 2 ??(t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? 8a ? 3 ? 24 ， 解得 a=6．………………………………………………………………………………10 分 高二数学（文科）参考答案第3页（共 4 页） 2 21 ．解：（1） f ( x ) ? x ? 2 ? 2 x ?1 ≤x+3， 于是当 x≥1 时，原不等式等价于 3x≤x+3， 3 解得 1≤x≤ 2 ； 当-2 1 解得 2 ≤x≤1； 当 x≤-2 时，原不等式等价于-3x≤x+3，无解； 1 3 综上，原不等式的解集为[ 2 ，2] ．……………………………………………………5 分 （2）由题意，存在实数 x，使得不等式 x ? 2 ? x ? m ≤3 成立， 则只需 ( x ? 2 ? x ? m )min ≤3， 又 x ? 2 ? x ? m ≥ x ? 2 ? x ? m ? m ? 2 ，当 ( x ? 2)( x ? m) ≤0 时取等号．所以 m ? 2 ≤3， 解得-5≤m≤1． ………………………………………………………………………10 分 高二数学（文科）参考答案第4页（共 4 页）
绵阳市高中2017第二学年末数学（文科）试题参考答案及评分标准
