杭州学军中学2019学年第一学期期中考试
高二数学试卷
命题人：叶秋平 审题人：徐 政
第Ⅰ卷 选择题 （共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．圆柱的轴截面是正方形，面积为S，则它的侧面积为（ ）
A.
S B.?S C.2?S D.4?S ?2．若直线l与平面?相交，则（ ）
A.?内所有直线与l异面 B.?内只存在有限条直线与l共面 C.?内存在唯一的直线与l平行 D.?内存在无数条直线与l垂直
3．已知m,n是空间两条不同的直线，?,?是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若?∥?，m??，n??，则m∥n
B.若m,n异面，m??，n??，m∥?，n∥?，则?∥? C.若???，m∥n，m??，则n∥? D.若???，????m，n?m，则n??
4．如图，三棱柱ABC?ABC中，侧面BBCC的面积是4，点A到侧面BBCC的距离是3,则三棱柱ABC?ABC的体积为
（ ）
A.12 B.6 C.4 D.无法确定
5．四面体ABCD中，AB?CD?2，其余棱长均为4，则该
四面体外接球半径为（ ）
A．14 B．
'''''''''''1432 C．32 D． 226．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）
A.19 B.22 C.5 D.27
1
7．在长方体ABCD?A1B1C1D1中， M,N分别是棱BB1，BC 的中点，若M在以C1N为
直径的圆上，则异面直线A1D与D1M所成的角为（ ） A. 450 B. 600 C. 900 D. 随长方体的形状变化而变化
8．一封闭的正方体容器ABCD?A1B1C1D1，P,Q,R分别为
AD，BB1，A1B1的中点，如图所示。由于某种原因，在
P,Q,R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中
水的上表面的形状是（ ）边形
A.3 B.4 C.5 D.6
9．已知a?sin1.5?cos1.5，b?sin1.5?cos1.5，c?(cos1.5)则a,b,c,d的大小关系为（ ）
A.b?c?d?a B.b?d?c?a C. d?b?c?a D.d?c?b?a 10．已知集合A?{xx2?x?6?0}，B?{xx2?3ax?4?0}，若a?0，且A?B中恰好
有两个整数解，则a的取值范围是（ ） A.[sin1.5，d?(sin1.5)cos1.5，
292029201320520 B.(,) C.[,) D.(,) ,)159 15999 39第Ⅱ卷 非选择题部分(共110分)
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB
所成的角大小是 ，线段EF的长度为 。 12．二面角??l??的大小是60，线段AB??，B?l，AB与l所成的角为45，则AB与
平面?所成的角的余弦值是 。
13．正三棱锥的高为1，底面边长为26，则的体积为 ；若有一个球与该正三棱锥
的各个面都相切，则球的半径为 。
??a?4x2af(1?x)?f(3x?9)?0?3x14.若f(x)?为奇函数，则= ，此时，不等式x2的解集为 。
15．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，M是对角线AC1上一点，N是底面ABCD上一点. 若
AB?2，BC?AA1?2，则MB1?MN的最小值为 。
16．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P,Q是正方体表面上相异两
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点，满足BP?A1E,BQ?A1E。（1）若P,Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是 ；（2）A1P的最小值为 。 17．若不等式??2x?t?1??1???loga4x?1?0对任意的正整数x恒成立（其中a?R，且a?1），4t则t 的取值范围是 。
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本题满分14分） 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
uuuruuur93（1）若cosC?，且CB?CA?，求?ABC的面积；
25urrrruBB
（2）设向量x＝(2sin，3)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，b?2，求a?c的
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取值范围。
19.（本题满分15分）如图，在四棱锥P?ABCD的底面ABCD中，且AD?2BC，BC∥AD，
O,E分别为AD,PD中点。
（1）设平面PAB?平面PCD=l，请作图确定l的位置并说明你的理由； （2）若Q为直线CE上任意一点，证明：OQ∥平面PAB。
?20．（本题满分15分）已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn?nan?3n(n?N)，且a2?5。
（1）证明数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； （2）设bn?an31，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn?成立的最小
10an?1?an?1an正整数n的值。
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21．（本题满分15分）对于函数f(x)，若存在实数对(m,n),使得等式f(m?x)?f(m?x)?n
对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(m,n)型函数”。 (1) 判断函数f(x)?x是否为 “(m,n)型函数”，并说明理由；
(2) ①若函数g(x)是“(1,4)型函数”，已知g(0)?1，求g(2)；
②若函数g(x)是“(1,4)型函数”，且当x?[0,1] 时,g(x)?x?a(x?1)?1(a?0)，若当x?[0,2]时,都有1?g(x)?4成立，试求a的取值范围。
22.（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB?AC,?A?120，M为线段BC的
中点，D为线段BC上一点，且BD?BA，沿直线AD将?ADC翻折至?ADC，使
'?2AC'?BD，记二面角C'?AD?B的平面角为?。
（1）证明：平面?AMC?平面ABD； （2）比较?CDB与?的大小，并证明你的结论； （3）求cos?的值。
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