教学资料范本 【2020最新】数学高考江苏专版二轮专题复习训练：3个附加题专项强化练（三）二项式定理、数学归纳法（理科）-含解析 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 8 1．已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设fn(x)为fn－1(x)的 导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)因为fn(x)为fn－1(x)的导数， 所以f1(x)＝f0′(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x) ＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)， 同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.(2)由(1)得f3(x)＝f2′(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x， 把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为 f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos，f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos，f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)cos， 猜测fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos.(*) 下面用数学归纳法证明上述等式． (ⅰ)当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立．(ⅱ)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式(*)成立， 即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos. 则当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk′(x)??kπ?? ＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k)?－sin?x＋2??????kπ????x＋???? ＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)]·－sin2???? 2 / 8 ＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]·cos， 即当n＝k＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N*时，fn(x)＝(x＋n)·sin＋(x－n)cos成 立．2．设1,2,3，…，n的一个排列是a1，a2，…，an，若ai＝i 称i为不动点(1≤i≤n)．(1)求1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数；(2)记1,2,3，…，n的排列中恰有k个不动点的排列个数为 Pn(k)，①求n(k)；②Pn(k)．解：(1)1,2,3,4,5的排列中恰有两个数不动，即为有两个ai＝i，另三个ai≠i，而三个数没有不动点的排列 有2个，故1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数为2C＝20. (2)①在1,2,3，…，n的排列中分成这样n＋1类，有0个不动 点，1个不动点，2个不动点，…，n个不动点， 故n(k)＝n！. ②由题设可知Pn(k)＝C Pn－k(0)及组合恒等式kC＝nC得nPn(k)＝CPn－k(0)＝CPn－k(0)＝nPn－k(0)＝nP(n－1)－k?1＝k k(0)＝n！.3．已知(x2＋2x＋4)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋ a2n(x＋1)2n(n∈N*)，令Tn＝ai.(1)求a0和Tn关于n的表达式；(2)试比较与(n－1)a0＋2n2的大小，并证明你的结论． 3 / 8
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