二阶矩阵特征值和特征向量的快速求法
智 婕
【摘 要】摘 要:二阶矩阵在矩阵运算中占举足轻重的地位，其运算特点不仅具有特殊性，而且不失一般性.本文主要介绍一种二阶矩阵特征值、特征向量的特殊求法，方便适用.
【期刊名称】洛阳师范学院学报 【年(卷),期】2014(000)005 【总页数】3
【关键词】关键词:二阶矩阵;特征值;特征向量
矩阵是一个应用性很强的数学对象，其中矩阵运算也是矩阵理论的基本内容之一.二阶矩阵是展现矩阵运算特点的有力工具，并且二阶矩阵的运算特点是具有一定规律性的.本文就二阶矩阵特征值和特征向量进行讨论，得到快速求法，为了解矩阵的运算提供一定的帮助.
1 预备知识
定义1【1】 设F是由一些数组成的集合，其中包含0和1，如果F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是集合F中的数，则称F是一个数域.
定义2【1】 设A是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F中的一个数λ0与数域F上的n维非零向量α，使得
则称λ0是A的一个特征值，α是A的属于特征值λ0的特征向量.
2 二阶矩阵特征值与特征向量的快速求法
法则1 设是实数域R上的二阶矩阵，其中 aij∈Z(i=1，2，j=1，2).如果
a11+a12=a21+a22，则 λ1=a11+a12或 λ1=a22+a21是 A 的一个整数特征值，是A的属于特征值λ1的一个线性无关的特征向量;λ2=a11-a21或λ2=a22-a12是 A的另一个整数特征值，α2=)是A的属于特征值λ2的一个线性无关的特征向量.
证明 设是R上的二阶矩阵，则特征多项式 由于a11+a12=a21+a22，故(2)式可化为 对上式进行因式分解，并令其为零，即
得到λ1=a11+a12，λ2=a11-a21，它们就为A的两个特征值.
当λ1=a11+a12时，解齐次线性方程组(λ1E-A)X=O，其增广矩阵得到一个基础解系是A的属于特征值λ1的一个线性无关的特征向量;
当λ2=a11-a21时，解齐次线性方程组(λ2E-A)X=O，其增广矩阵
得到一个基础解系，即 α2=)是A的属于特征值λ2的一个线性无关的特征向量. 例1 求的全部特征值和特征向量.
解 由法则1，λ1=3+8=11，λ2=3-6=-3是A的全部特征值，是A的属于特征值λ1=11的一个线性无关的特征向量，c1α1(c1为任意常数)是A的属于特征值λ1=11的全部特征向量;是A的属于特征值λ2=-3的一个线性无关的特征向量，c2α2(c2为任意常数)是A的属于特征值λ2=-3的全部特征向量. 验证
法则2 如果是实数域R上的二阶不可逆矩阵，且a11，a21，a22中至少有两个不为零，其中aij∈Z(i=1，2，j=1，2)，则 λ1=0是 A的一个整数特征值，)或 α1=是A的属于特征值λ1的一个线性无关的特征向量;λ2=a11+a22是A的另一个整数特征值，)是 A的属于特征值λ2的一个线性无关的特征向量.注
法则2中，若a11，a21或a22，a21同时为零，失效. 例2 求的全部特征值和特征向量.
解 由法则2，λ1=0，λ2=2+8=10是A的全部特征值，是A的属于特征值λ1=0的一个线性无关的特征向量，c1α1(c1为任意常数)是A的属于特征值λ1=0的全部特征向量;是A的属于特征值λ2=6的一个线性无关的特征向量，c2α2(c2为任意常数)是A的属于特征值λ2=6的全部特征向量. 验证
例3 求的全部特征值和特征向量.
解 由法则2，λ1=0，λ2=2+0=2是A的全部特征值，是A的属于特征值λ1=0的一个线性无关的特征向量，c1α1(c1为任意常数)是A的属于特征值λ1=0的全部特征向量;α2是A的属于特征值λ2=2的一个线性无关的特征向量，c2α2(c2为任意常数)是A的属于特征值λ2=2的全部特征向量. 验证 参考文献
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二阶矩阵特征值和特征向量的快速求法
