二阶矩阵特征值和特征向量的快速求法
智 婕
【摘 要】摘 要:二阶矩阵在矩阵运算中占举足轻重的地位,其运算特点不仅具有特殊性,而且不失一般性.本文主要介绍一种二阶矩阵特征值、特征向量的特殊求法,方便适用.
【期刊名称】洛阳师范学院学报 【年(卷),期】2014(000)005 【总页数】3
【关键词】关键词:二阶矩阵;特征值;特征向量
矩阵是一个应用性很强的数学对象,其中矩阵运算也是矩阵理论的基本内容之一.二阶矩阵是展现矩阵运算特点的有力工具,并且二阶矩阵的运算特点是具有一定规律性的.本文就二阶矩阵特征值和特征向量进行讨论,得到快速求法,为了解矩阵的运算提供一定的帮助.
1 预备知识
定义1【1】 设F是由一些数组成的集合,其中包含0和1,如果F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是集合F中的数,则称F是一个数域.
定义2【1】 设A是数域F上的n阶矩阵,如果存在数域F中的一个数λ0与数域F上的n维非零向量α,使得
则称λ0是A的一个特征值,α是A的属于特征值λ0的特征向量.
2 二阶矩阵特征值与特征向量的快速求法
法则1 设是实数域R上的二阶矩阵,其中 aij∈Z(i=1,2,j=1,2).如果
a11+a12=a21+a22,则 λ1=a11+a12或 λ1=a22+a21是 A 的一个整数特征值,是A的属于特征值λ1的一个线性无关的特征向量;λ2=a11-a21或λ2=a22-a12是 A的另一个整数特征值,α2=)是A的属于特征值λ2的一个线性无关的特征向量.
证明 设是R上的二阶矩阵,则特征多项式 由于a11+a12=a21+a22,故(2)式可化为 对上式进行因式分解,并令其为零,即
得到λ1=a11+a12,λ2=a11-a21,它们就为A的两个特征值.
当λ1=a11+a12时,解齐次线性方程组(λ1E-A)X=O,其增广矩阵得到一个基础解系是A的属于特征值λ1的一个线性无关的特征向量;
当λ2=a11-a21时,解齐次线性方程组(λ2E-A)X=O,其增广矩阵
得到一个基础解系,即 α2=)是A的属于特征值λ2的一个线性无关的特征向量. 例1 求的全部特征值和特征向量.
解 由法则1,λ1=3+8=11,λ2=3-6=-3是A的全部特征值,是A的属于特征值λ1=11的一个线性无关的特征向量,c1α1(c1为任意常数)是A的属于特征值λ1=11的全部特征向量;是A的属于特征值λ2=-3的一个线性无关的特征向量,c2α2(c2为任意常数)是A的属于特征值λ2=-3的全部特征向量. 验证
法则2 如果是实数域R上的二阶不可逆矩阵,且a11,a21,a22中至少有两个不为零,其中aij∈Z(i=1,2,j=1,2),则 λ1=0是 A的一个整数特征值,)或 α1=是A的属于特征值λ1的一个线性无关的特征向量;λ2=a11+a22是A的另一个整数特征值,)是 A的属于特征值λ2的一个线性无关的特征向量.注
法则2中,若a11,a21或a22,a21同时为零,失效. 例2 求的全部特征值和特征向量.
解 由法则2,λ1=0,λ2=2+8=10是A的全部特征值,是A的属于特征值λ1=0的一个线性无关的特征向量,c1α1(c1为任意常数)是A的属于特征值λ1=0的全部特征向量;是A的属于特征值λ2=6的一个线性无关的特征向量,c2α2(c2为任意常数)是A的属于特征值λ2=6的全部特征向量. 验证
例3 求的全部特征值和特征向量.
解 由法则2,λ1=0,λ2=2+0=2是A的全部特征值,是A的属于特征值λ1=0的一个线性无关的特征向量,c1α1(c1为任意常数)是A的属于特征值λ1=0的全部特征向量;α2是A的属于特征值λ2=2的一个线性无关的特征向量,c2α2(c2为任意常数)是A的属于特征值λ2=2的全部特征向量. 验证 参考文献
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二阶矩阵特征值和特征向量的快速求法
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