所求图形的面积为：S??[f上(x)?fab下(x)]dx
y d ydy y c O x??左(y)x??右(y)x 所求图形的面积为：S??[?右(y)??左(y)]dy
cd旋转体：由连续曲线 yf (x)、直线 xa 、xb 及 x 轴所围成的曲边梯
形绕 x轴旋转一周而成的立体。
y y?f(x)V ??a[f(x)]??dx???a[f(x)]dx。 b2b2xO a b x
旋转体：由连续曲线 x??(y) 、
直线 yc 、yd 及 y轴所围曲边梯
形绕 y轴旋转一周而成的立体
定积分的物理应用
变力沿直线做功；水(侧)压力；引力
思路: 建立坐标系，选取积分变量(如x)，在[x, x+dx]上给出微元
第六 空间解析几何
1. 向量a?axi?ayj?azk在坐标轴上的投影分别为：
ax,ay,az；在
坐标轴上的分量分别为：axi,ayj,azk。
|a|?ax?ay?az?222a?(cos?,cos?,cos?) ，ea?|a|2. 利用坐标作向量的线性运算
a?b? (ax?bx,ay?by,az?bz)，
?a? (?ax,?ay,?az)，
数量积(数):
向量积(向量)
a?b?a，a?b?b，且 a?b，a,b构成右手系，
?|a?b|?|a||b|sin(a,b) (几何意义: 平行四边形的面积)
3．向量之间的关系
4．平面图形及其方程
平面的法向量：和平面垂直的非零向量。
①点法式方程：
设平面过点M0(x0,y0,z0)法向量n?(A,B,C)(其中A,B,C不全
为0), 则平面的方程为
②一般方程：
[ 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;
当 A = 0 时, B y + C z + D = 0表示平行于 x 轴的平面;
Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面;
Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面
Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面;
Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；
By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面]
设平面∏1的法向量为n1?(A1,B1,C1)，
平面∏2的法向量为n2?(A2,B2,C2)，
则两平面夹角 的余弦为：
cos??n1?n2n1n2。
平面外一点P?x0,y0,z0?到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：
5．空间直线及其方程
① 一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：
方向向量: s?n1?n2
②点向式方程
x?x0y?y0z?z0??mnp方向向量: s?(m,n,p)
③参数方程 (求交点)
高等数学大一上学期知识要点
