第14课时：第二章 函数——二次函数
一．课题：二次函数
二．教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实
根分布条件；能求二次函数的区间最值． 三．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．
四．教学过程： （一）主要知识：
1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式． 2．二次函数的图象及性质；
3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系． （二）主要方法：
1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；
2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． （三）例题分析：
例1．函数y?x?bx?c (x?[0,??))是单调函数的充要条件是 （ A ）
2(A)b?0 (B)b?0 (C)b?0 (D)b?0
分析：对称轴x??b2，∵函数y?x?bx?c(x?[0,??)是单调函数， 2∴对称轴x??b在区间 2b[0,??)的左边，即??0，得b?0．
2
例2．已知二次函数的对称轴为x??2，截x轴上的弦长为4，且过点(0,?1)，求函数的解析式．
2解：∵二次函数的对称轴为x??2，设所求函数为f(x)?a(x?2)?b，又∵f(x)截x轴上的弦长为4，∴f(x)过点(?2?2,0)，f(x)又过点(0,?1)，
1??4a?b?0?a?∴?， ?2，
2a?b??1???b??2∴f(x)?
1(x?2)2?2． 2例3．已知函数y??sinx?asinx?2a1?的最大值为2，求a的值 ． 42分析：令t?sinx，问题就转二次函数的区间最值问题． 解：令t?sinx，t?[?1,1]，
∴y??(t?)?a2212a(a?a?2)，对称轴为t?， 42（1）当?1?a1?1，即?2?a?2时，ymax?(a2?a?2)?2，得a??2或a?3（舍去）． 24（2）当
aa1?1，即a?2时，函数y??(t?)2?(a2?a?2)在[?1,1]单调递增， 2241110a??2，得a?． 423由ymax??1?a?（3）当
aa1??1，即a??2时，函数y??(t?)2?(a2?a?2)在[?1,1]单调递减， 22411a??2，得a??2（舍去）． 4210． 3由ymax??1?a?综上可得：a的值为a??2或a?
例4． 已知函数f(x)?x?(2a?1)x?a?2与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围． 解法一：由题知关于x的方程x?(2a?1)x?a?2?0至少有一个非负实根，设根为x1,x2
2222???09?则x1x2?0或?x1x2?0，得?2?a?．
4?x?x?0?12?f(0)?0??(2a?1)9?解法二：由题知f(0)?0或???0，得?2?a?．
42?????0
例5．对于函数f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0，则称x0是f(x)的一个不动点，已知函数
f(x)?ax2?(b?1)x?(b?1)(a?0)，
（1）当a?1,b??2时，求函数f(x)的不动点；
（2）对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y?f(x)的图象上A,B两点的横坐标是f(x)的不动点，且A,B两点关于直线y?kx?212a?12对称，求b的最小值．
2解：（1）f(x)?x?x?3，x0是f(x)的不动点，则f(x)?x0?x0?3?x0，得x0??1或
x0?3，函数f(x)的不动点为?1和3．
（2）∵函数f(x)恒有两个相异的不动点，∴f(x)?x?ax?bx?(b?1)?0恒有两个不等的实根，??b?4a(b?1)?b?4ab?4a?0对b?R恒成立， ∴(4a)?16a?0，得a的取值范围为(0,1)． （3）由ax?bx?(b?1)?0得
22222x1?x2b1??，由题知k??1，y??x?， 222a2a?1bb1bb1,?2)，∴???2， 2a2a2a?12a2a2a?1设A,B中点为E，则E的横坐标为(?∴b??a2a2?1??12a?1a??122，当且仅当2a?(0?a?1)，即a?时等号成立，
a42∴b的最小值为?2． 4（四）巩固练习：
1．若函数y?x?(a?2)x?3(x?[a,b]的图象关于x?1对称则b? 6 ．
2．二次函数f(x)的二次项系数为负值，且f(x?2)?f(2?x)(x?R)，问f(1?2x)与
22f(1?2x?x2)满足什么关系时，有?2?x?0．
3．m取何值时，方程7x?(m?13)x?m?m?2?0的一根大于1，一根小于1．
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（全国通用）2020年高三数学 第14课时 第二章 函数 二次函数专题复习教案
