章末复习提升课
平面向量的线性运算
→
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( )
3→1→
A.AB－AC 44
1→3→
B.AB－AC 44
- 1 -
3→1→C.AB＋AC 441→3→
D.AB＋AC 44
→→→
(2)如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ＝( ) 4A. 3C.15 8
5B. 3D.2
→→→1→1→11→→1→→3
【解析】 (1)法一：如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝
222224→
AB－AC，故选A.
3→1→→→→→1→→11→→
法二：EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－AC，故选A.
22244
→→→→→→→→1→→→
(2)因为AC＝λAM＋μBD＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD)＝λ(AB＋AD)＋μ(－AB＋AD)＝
24λ＝，??3?1→→→→??(λ－μ)错误！未定义书签。＋?λ＋μ?AD，且AC＝AB＋AD，所以?1得??2?1λ＋μ＝1?μ＝?2??3，
1→
4
?λ－μ＝1，
5
所以λ＋μ＝，故选B.
3
【答案】 (1)A (2)B
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)．若(a＋kb)∥c，则实数k的值为( )
A．2 11C．
4
1B． 211D．－ 4
解析：选B.由题意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，由(a＋kb)∥c，得1
－5(k－1)＝k＋2，解得k＝，故选B.
2
平面向量数量积的运算
- 2 -
如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝
AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为( )
A.C.21 1625 16
3B. 2D.3
→→
【解析】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系， 3??1
因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，D?－，?，
?22?3?→?13?→?3
设C(1，m)，E(x，y)，所以DC＝?，m－?，AD＝?－，?，
2??2?22?
3?1?3?3??13?3??3
因为AD⊥CD，所以?，m－?·?－，?＝0，即×?－?＋?m－?＝0，解得m＝
2?2?2?2??22?2??23，即C(1，3)，因为E在CD上，所以33?3?→→
≤y≤3，由CE∥DC，得(x－1)?3－?＝(y22?2?
→→→→
－3)，即x＝3y－2，因为AE＝(x，y)，BE＝(x－1，y)，所以AE·BE＝(x，y)·(x－1，y)＝x－x＋y＝(3y－2)－3y＋2＋y＝4y－53y＋6，令f(y)＝4y－53y＋6，y∈
2
2
2
2
2
2
?3??353??53?2
?，3?.因为函数f(y)＝4y－53y＋6在?，?上单调递减，在?，3?上单调递
8??2??2?8?
5321?53?2
增，所以f(y)min＝4×??－53×8＋6＝16.
?8?
21→→
所以AE·BE的最小值为，故选A.
16【答案】 A
向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
3π
1．已知向量a，b的夹角为，|a|＝2，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________．
4解析：a·(a－2b)＝a－2a·b＝2－2×2×2×?－答案：6
2
??2?
?＝6. 2?
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高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课学案新人教A版必修第二册
