《平面向量》考试知识点
一、选择题
uuuruuur1．已知VABC中，AB?2,BC?3,?ABC?60?,BD?2DC,AE?EC，则AD?BE?（ ）
A．1 【答案】C 【解析】 【分析】
B．?2 C．
1 2D．?1 2uuuruuuruuuruuur以BA,BC为基底，将AD,BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.
【详解】
uuur2uuuruuuruuuruuur2uuuruuurBD?2DC,BD?BC,AD?BD?BA?BC?BA,
33uuur1uuur1uuurAE?EC,?BE?BC?BA,
22uuuruuurruuur1uuur1uuur2uuuAD?BE?(BC?BA)?(BC?BA)
322r21uuuruuur1uuur21uuu?BC?BC?BA?BA 362111?1??2?3??.
622故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
uuuruuuruuuruuur2．已知正?ABC的边长为4，点D为边BC的中点，点E满足AE?ED，那么EB?EC的值为（ ） A．? 【答案】B 【解析】 【分析】
由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．
83B．?1
C．1 D．3
【详解】
由已知可得：EB=EC=7 ， 又tan?BED?BD223 ??ED331?tan2?BED1所以cos?BEC? ??1?tan2?BED7uuuruuuruuuruuur?1?EB?EC?|EB‖EC|cos?BEC?7?7?所以?????1
?7?故选B． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
rvvvvvvvrvra?b?a?b3．已知向量a，b满足，且|a|?3，|b|?1，则向量b与a?b的夹角为
（ ） A．
? 3B．
2? 3C．
? 6D．
5? 6【答案】B 【解析】 【分析】
vvvvvvvvv对a?b?a?b两边平方，求得a?b?0，所以a?b.画出图像，根据图像确定b与
vva?b的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.
【详解】
vvvvvvvvvvvvvvvv因为a?b?a?b，所以a2?2a?b?b2?a2?2a?b?b2，即a?b?0，所以a?b.
vvvuuuvvuuuvv如图，设AB?a，AD?b，则向量b与a?b的夹角为?BDE，因为tan?BDA?3，所以?BDA??3，?BDE?2?.故选B. 3
【点睛】
本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.
4．下列说法中说法正确的有（ ）
rrrr①零向量与任一向量平行；②若a//b，则a??b(??R)；
rrruuuruuuruuurrrrrrrrr③(a?b)?c?a?(b?c)④|a|?|b|?|a?b|；⑤若AB?BC?CA?0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A．①④ 【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
B．①②④
C．①②⑤
D．③⑥
rrrrrr对于②：若a//b，则a??b???R?，必须有b?0，故②错误；
rrrrrrrr对于③：a?b?c?a?b?c，a与c不共线，故③错误；
rrrr对于④：a?b?a?b，根据三角不等式的应用，故④正确；
uuuruuuruuurrr对于⑤：若AB?BC?CA?0，则A,B,C为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤
????错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
vuuuvuuuvuuuuuuvuuuvAD?1，则AC?AD?（ ） 5．如图，在VABC中，AD?AB，BC?3BD，
A．23 B．3 2C．3 3D．3 【答案】D 【解析】
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv∵AC?AB?BC?AB?3BD，∴uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvAC?AD?(AB?3BD)?AD?AB?AD?3BD?AD，
uuuruuur又∵AB?AD，∴AB?AD?0，
∴
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvAC?AD?3BD?AD?3BD?ADcos?ADB?3BD?cos?ADB?3AD?3， 故选D．
（ ） A．
6．已知a,b是平面向量，满足|a|?4，|b|?1且|3b?a|?2，则cos?a,b?的最小值是
rrrrrrrr11 16B．
7 8C．15 8D．315 16【答案】B 【解析】 【分析】
uuurruuurr设OA?a，OB?3b，利用几何意义知B既在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】 uuurruuurr设OA?a，OB?3b，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
rr由|3b?a|?2，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
rrrr则B只能在阴影部分区域，要cos?a,b?最小，则?a,b?应最大，
rr此时cos?a,b???minOA2?OB2?AB242?32?227?cos?BOA???.
2OA?OB2?4?38
故选：B.
【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
成立，则实数t的取值范围是（ ）. A．????,?7．已知VABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数k，不等式|kAB?tBC|?1恒
uuuruuur???3??3?,?? ??????3??3?B．????,????23??23?,??????3? 3?????23?C．??3,????
??【答案】B 【解析】 【分析】
?3?D．??3,????
??根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k的二次不等式恒成立的问题，由n?0，即可求得结果. 【详解】
uuuruuur1因为VABC是边长为1的等边三角形，所以AB?BC?cos120???，
2uuuruuuruuur2uuuruuur2uuur22由|kAB?tBC|?1两边平方得k(AB)?2ktAB?BC?t(BC)?1，
即k2?kt?t2?1?0，构造函数f(k)?k?tk?t?1， 由题意，??t?4t?1?0， 解得t??故选：B. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.
222?2?2323. 或t?33
8．在?ABC中，AB?5,BC?6,AC?7，点E为BC的中点，过点E作EF?BC交
AC所在的直线于点F，则向量AF在向量BC方向上的投影为（ ）
A．2 【答案】A 【解析】 【分析】
B．
uuuruuur3 2C．1 D．3
uuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuuruuur由AF?AE?EF?(AB?AC)?EF， EF?BC，得AF?BC?12，然后套用公式
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高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》难题汇编
