数论发散 经典精讲 一、约数的个数及求和。
1．约数和倍数的定义：
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。 2．最大公约数的定义：
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。 例如：(8，12)＝4，(6，9，15)＝3。 3．约数个数定理
设自然数n的质因子分解式如p1a1p2a2p3a3pnan
那么n的约数个数为d(n)?(a1?1)(a2?1)(a3?1)(an?1) 自然数n的约数和为
S?n???p1a1?p1a1?1??p12?p11?1??p2a2?p2a2?1??p22?p21?1?
?pnan?pnan?1??pn2?pn1?1
?4．关于约数的小的性质：
⑴几个数的公约数一定是这几个数和的约数
⑵约数个数性质：当约数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数。
二、带余除法
1．余数定理：
①两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
实例：7÷3＝2……1，5÷3＝1……1，这样(7＋5)÷3的余数就等于(1＋2)＝3的余数。
②两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
实例：8÷3＝2……2，4÷3＝1，这样(8－4)÷3的余数就等于(2－1)÷3的余数。 ③两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
实例：7÷3＝2……1，5÷3＝1，这样(7×5)÷3的余数就等于(1×2)÷3的余数。 2．带余除法： 一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，那么一定有另外两个整数q和i，0≤r≤b，使得a＝b×q＋r。
当r＝0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b＝q……r，0≤r≤b。 同余式：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用“同余式”表示为a≡b(modm)意味着(我们假设a≥b)a－b＝mk，k是整数，即m|(a－b)。 若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是______。
例1 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数，十位数字与个位数字的积是24。
这个两位数是_____。
例4 20082008例2 例3
?20062007被17除的余数是_______； 888被13除的余数是______，被9除的余
2008个8数是______； 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？ 一个数去除70、103所得的余数为a、2a＋2，求a的值。 例6 例5 测试题
1．有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，…，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，…，如此进行。那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？
2．两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是________、________。
答案
1．【解析】
要求某一个甲虫头朝哪个方向，需要先求出这个甲虫向右转动了多少次。
根据题意可知，对于编号为n的甲虫，只有在秒数是n的约数时才会转动，当秒数不是n的约数时，编号为n的甲虫是不动的。那么要求编号为n的甲虫转动的次数，实际上是要求n的约数的个数。 先将3599分解质因数：所以3599只有(1?1)?(1?1)?43599?3600?1?602?12?59?61，
个约数，那么在1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次。由于每次转90度，所以共转了360度，还是朝向原来的方向。所以1小时后，第3599号甲虫头朝东。 2．【解析】 先将2800分解质因数：2800?24?52?7，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数必为完全平方数，又是2800的约数，故这个数只能为22，24，52，22?52或24?52，另一个数相应地为22?52?7、52?7、24?7、22?7或7。经检验，只有两数分别为24和52?7时符合条件，所以这两个数分别是16和175。
六年级下册数学试题-数论发散(含部分答案)全国通用
