18 物理中常用的数学特殊方法
考点
1 ? 利用数学方法求极值
1.利用三角函数求极值
(1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=Asin θcos θ,则根据二倍角公式,有
y=????
2sin 2θ,当θ=45°时,y有最大值,ymax=2。
(2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=asin θ+bcos θ,通过辅助角公式转化为
y=√??2+??2sin(θ+φ),当θ+φ=90°时,y有最大值ymax=√??2+??2。
2.利用二次函数求极值
二次函数y=ax2
+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0),当
x=-??
2??时,y有极值
ym=4????-??2
4??(a>0时,ym为
极小值;a<0时,ym为极大值)。
3.利用均值不等式求极值
对于两个大于零的变量a、b,若其和a+b为一定值,则当a=b时,其积ab有极大值;若其积ab为一定值,则当a=b时,其和a+b有极小值。
1.(2024年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B的大小变化可能是( )。
甲
A.始终变大
B.始终变小
C.先变大后变小 D.先变小后变大
解析? 金属棒的受力分析如图乙所示。分析可得,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程
中,磁场方向与竖直方向的夹角θ从30°减小到0°。因为金属棒始终保持匀速运动,即F合=0,有
FAcos θ=Ff,FN+FAsin θ=mg,Ff=μFN,整理可得FA=cos??+??sin??=????????????√1+??2sin(??+??), 其中tan α=。当
1??α>60°,θ从30°减小到0°时,FA先变小后变大,又FA=BIL,所以B先变小后变大,D项正确;当α≤60°,θ从30°减小到0°时,FA一直变大,所以B一直变大,A项正确。
乙
答案? AD
1.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点
O做匀速圆周运动,如图所示。此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较
大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。 A.它们做圆周运动的万有引力保持不变 B.它们做圆周运动的角速度不断变大
C.体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大 D.体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小
解析? 设体积较小的星体质量为m1,轨道半径为r1,体积较大的星体质量为m2,轨道半径为r2;双星间的距离为L;转移的质量为Δm。则它们之间的万有引力F=G(??1+Δ??)(??2-Δ??)
??2,根据数学知
识知,随着Δm的增大,F会发生变化,A项错误。对体积较小的星体,有
G(??1+Δ??)(??2-Δ??)
??
2=(m1+Δm)ω2r1; 对体积较大的星体,有G(??1+Δ??)(??2-Δ??)
??2=(m2-Δm)ω2r2,由两式
得ω=√
??(??1+??2)
??3,总质量m1+m2不变,两者距离L不变,则角速度ω不变,B项错误。
ω2r2=G(??1+Δ??)
??2,ω、L、m1均不变,Δm增大,则r2增大,即体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径
变大,由v=ωr2得,其线速度v也增大,故C项正确,D项错误。
答案? C
2.(2024年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度
v0抛出,恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g,下列说法正确的是( )。
A.小球打到斜面上的时间为
√3??0
??
B.要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h和v0成正比 C.要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h和v0的平方成正比
D.若高度h一定,现小球以不同的初速度v0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh
解析? 设小球打到斜面上的时间为t,恰好垂直打在斜面上,根据几何关系可得tan
60°==,解得t=1??????????0??0
√3??0
??,故A项正确;要让小球始终垂直打到斜面上,小球平抛运动的水平位移
?-??
,代入??x=v0t,y=2gt2,小球落在斜面上,根据几何关系得tan 30°=t=√3??0
??解得h=????5??02
,h2????2??和v0的平方
成正比,故B项错误,C项正确;小球落在斜面上时的竖直分速度vy=√2????,vx==x√,由于tan
?-??
,速度v=√????2??3?2??2
30°=+????2,联立解得v=√??(
+
7??
-3h),根据数学知识可知,积一定,当二者相等2时和有最小值,故最小值vm=√(√21-3)gh,D项正确。
答案? ACD
考点
2 ? 函数图象及应用
图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基
本要素便可应对,具体为图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。
图象 函数形式 特例及物理意义
y=c
匀速直线运动的v-t图象。“面积”表示位移
y=kx
①匀速直线运动的x-t图象。斜率表示速度
②初速度v0=0的匀加速直线运动的v-t图象。斜率表示加速度,“面积”表示位移 ③纯电阻电路的I-U图象。斜率表示电阻的倒数
2024届物理高考二轮专题透析微专题18 物理中常用的数学特殊方法
