令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号． 因此ac+bd≤8．
另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当
时取等号． ∴﹣8≤ac+bd≤8．
【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【必做题】
25．（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=
，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一步求出
，
，
的坐标．
，
（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值． 【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，
∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB=AD=2，AA1=
，∠BAD=120°，
），C（
，1，0），
∴A（0，0，0），B（D（0，2，0）， A1（0，0，
=（
．
（1）∵cos＜
＞=
），C1（
），
）． =（
），
，
=．
∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为； （2）设平面BA1D的一个法向量为由
，得
，取x=
，得． ．
，
；
取平面A1AD的一个法向量为∴cos＜
＞=
=
∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为
．
，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为
【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，
是中档题．
26．（2017?江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）． 1
2
3
…
m+n
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜
．
【分析】（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|
）P（
），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
，…，
，P（x=）=
，k=n，n+1，n+2，…，
（2）X的所有可能取值为
n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．
【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球， 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|==
=
．
，…，
，
）P（）
证明：（2）∵X的所有可能取值为P（x=）=
，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）=（）=
==
＜?（
=
）
=
∴E（X）＜
=
．
，
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
2017年江苏省高考数学试卷（含答案解析）
