三、解答题
17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
23bcsinA?b2?c2?a2. 3（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若c?5，cosB?【答案】（Ⅰ）A?1，求b. 7?3（Ⅱ）8
【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得a2?b2?c2?2bccosA，即可求出A, （Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出. 【详解】
（Ⅰ）由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA， 所以b2?c2?a2?2bccosA， 所以431?bcsinA?2bccosA， 32即tanA?3， 因为0?A??， 所以A??3；
（Ⅱ）因为cosB?143，所以sinB?， 77因为sinC?sin?A?B?，
?sinAcosB?cosAsinB ?3114353， ????272714由正弦定理得【点睛】
bcc??sinB?8. ，所以b?sinBsinCsinC本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.
18．下表是某公司2018年5~12月份研发费用x（百万元）和产品销量y （万台）的具体数据：
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月 份 5 6 7 8 10 2.5 9 21 6 10 13 11 15 12 研发费用（百万元） 2 产品销量（万台）
3 1 6 18 4.5 1 2 3.5 3.5 （1）根据数据可知y与x之间存在线性相关关系，用线性相关系数说明y与x之间的相关性强弱程度
（2）求出y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计当研发费用为20（百万元）时该产品的销量. 参考数据：
?xyii?1ni?347，?xi?1308，?yi2?93，7140?84.50
2i?1i?1nn参照公式：相关系数r??xy?nxyiii?1n?n2??n22?x?nxy?ny??ii?????i?1??i?1?，其回归直线y?bx?a中的
???b???xy?nxyiii?1nn
?xi?12i?nx2【答案】（1）y与x之间的具有强相关关系；（2）5.12万台.
【解析】（1）估计相关系数r??xy?nxyiii?1n???222?x?nxy?ny??i???i??i?1??i?1?nn，先求得x，y，再结
合提供的数据代入公式求解.
（2）根据（1）的数据，求得b???xy?nxyiii?1nn??xi?12i?nx283?0.244，得到340??3?0.244?11?0.32，写出回归方程，再将x=20代入回归方程求解. ??y?bxa【详解】
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（1）因为x?2?3?6?10?21?13?15?1888??11，
88y?1?1?2?2.5?6?3.5?3.5?3.5?4.524??3，
88所以
r??xy?nxyiii?1n?n2??n22?x?nxy?ny??ii?????i?1??i?1??347?8?11?3?1308?8?121??93?8?9??838383???0.98，
340?21714084.50所以y与x之间的具有强相关关系；
（2）因为b???xy?nxyiii?1nn??xi?12i?nx283?0.244， 340??3?0.244?11?0.32， 所以a??y?bx??0.24?20?0.32?5.12， 所以y?0.24x?0.32，当x=20时，y所以当研发费用为20（百万元）时，该产品的销量约为5.12万台. 【点睛】
本题主要考查线性相关程度的判定和回归直线方程的求法及样本估计总体，还考查了数据分析处理的能力，属于中档题.
19．如图，四棱锥E?ABCD中，平面ABCD?平面BCE，若?BCE?r?2，四边形
ABCD是平行四边形，且AE?BD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
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（2）若点F在线段AE上，且ECP平面BDF，?BCD?60?，BC?CE?2，求三棱锥F?BDE的体积. 【答案】（1）见解析；（2）3 3【解析】（1）连接AC，根据?BCE??2，得到BC?CE，再由平面ABCD?平面
BCE，得到EC?平面ABCD，则EC?BD，又AE?BD，根据线面垂直的判定
定理，可得BD?平面AEC，从而BD?AC，再根据菱形的定义得证.
（2）设AC与BD的交点为O，根据EC//平面BDF，平利用线面平行的性质定理，得到FO//EC，根据EC?平面ABCD，则 FO?平面ABCD，即为平面ABCD上的高，然后利用VF?BDE?VE?ABCD?VE?BCD?VF?ABD求解. 【详解】 （1）如图所示：
连接AC，因为?BCE??2，所以BC?CE，
因为平面ABCD?平面BCE，
所以EC?平面ABCD，所以EC?BD，
因为AE?BD，所以BD?平面AEC，所以BD?AC， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以四边形ABCD是菱形；
（2）设AC与BD的交点为O，因为EC//平面BDF，平面AECI平面BDF?OF， 所以FO//EC，因为O是AC中点，所以F是AE的中点，因为EC?平面ABCD，
FO//EC，
所以FO?平面ABCD，因为?BCD?60?，BC?CE?2，
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所以三棱锥F?BDE的体积为：
VF?BDE?VE?ABCD?VE?BCD?VF?ABD
11?11?1?????2?2?sin60???2????2?2?sin60???2????2?2?sin60???1 33?23?2???3. 3【点睛】
本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化以及几何体体积的求法，还考查了转化化归思想和推理论证的能力，属于中档题.
20．已知定圆M:?x?1??y2?8，动圆N过点F?1,0?且与圆M相切，记动圆圆心
2N的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程
（2）若轨迹C上存在两个不同点A，B关于直线y?mx?最大值（O为坐标原点）.
1对称，求VAOB面积的2x22【答案】（1）?y2?1；（2）
22【解析】（1）根据F?1,0?在圆M:?x?1??y2?8内，所以圆N内切于圆M，则有
2NM?22?NF，即NM?NF?22?MF，根据椭圆的定义，可知点N的
轨迹C是椭圆再求解.
（2）根据A，B关于直线y?mx?11对称，直线AB的方程为y??x?n，与椭2m?x22?y?1??2?11?22nx?n2?1?0，根据直线圆方程联立?消去y，得??2?x?m?2m??y??1x?n?m?14x2y??x?n与椭圆?y2?1有两个不同的交点，???2n2?2?2?0，AB的
2mm?2mnm2n?1,2y?mx?中点M?2在直线上，得到m 的取值范围，再利用 ?m?2m?22??1S?t???AB?d求解.
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2020届 四川省泸州市 高三第三次教学质量诊断性考试数学(文)试题(解析版)
