所以NK?yM?tan30o?2?23
3所以xM?1 3所以
MF?xM?p2?4 3故选：C 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及平面几何知识，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.
11．已知函数f?x??x??x?，其中x表示不超过x的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）
A．f?x?的值域是?0,1? C．f?x?是周期函数 【答案】C
【解析】根据x表示不超过x的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】
由x表示不超过x的最大正整数，其函数图象为
B．f?x?是奇函数 D．f?x?是增函数
??????
选项A，函数f?x???0,1?，故错误； 选项B，函数f?x?为非奇非偶函数，故错误；
选项C，函数f?x?是以1为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数f?x?在区间L0,1?,1,2?,2,3?L上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C
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???【点睛】
本题考查对题干x的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 12．已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8，母线
??SA?12，点B在SA上，且SB?3BA，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的
最小值为（ ） A．27? 【答案】A
【解析】设球的球心为O，半径为R，根据圆锥的高为8，母线SA?12，求得外接圆的半径R=9，再取SA的中点N，利用点B在SA上，且SB?3BA求得
B．36?
C．54?
D．81?
OB?然后利用截面面性质，当截面面积最小时，则 OB?截ON2?BN2?36，面，即点B为截面圆的圆心求解. 【详解】 如图所示：
设球的球心为O，半径为R， 则SM?8,OA?R,AM?SA2?SM2?45，
所以OA2?OM2?AM2， 即R2??R?8??45，
2??2解得R=9，取SA的中点N，则BN?3， 所以ON?R2?AN2?35，OB?ON2?BN2?36 设点C为截面圆周上一点，
若截面面积最小，则 OB?截面，此时截面圆半径为
r?BC?R2?OB2?33，
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所以截面面积的最小值为?r2?27?. 故选：A 【点睛】
本题主要考查球的截面面积的求法以及截面的性质，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
二、填空题
rrrr13．已知向量a??1,2?，b??2,k?，若a?b，则k?______.
【答案】-1
【解析】利用平面向量垂直的坐标公式求解. 【详解】
rr已知向量a??1,2?，b??2,k?，
rr若a?b，则1?2?2?k?0
解得k??1 故答案为：-1 【点睛】
本题主要考查平面向量的垂直运算，要熟记公式，属于基础题.
?x?y?3?y14．已知实数x，y满足约束条件?y?3x?1，则z?的最小值为______.
x?x?2?【答案】
1 2【解析】作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解?x,y?与?0,0?点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立?【详解】
?x?y?3，解得点B坐标，即可求得答案.
?x?2?x?y?3yy?0?作出满足约束条件?y?3x?1的可行域，该目标函数z??视为可行解?x,y?xx?0?x?2?与?0,0?点的斜率，故kOB?z?kOA
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?y?3x?1?x?y?3A2,5由题可知，联立?得?,联立?得B?2,1? ??x?2?x?2所以kOA?5115,kOB?，故?z? 22221 2所以z的最小值为
故答案为：【点睛】
1 2本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 15．设函数f?x???【答案】9
【解析】根据分段函数的定义域，分别求解f??2?,f?log212?，再求和. 【详解】
?1?log2?2?x?,x?1x?12?x?1，则f??2??f?log212??______.
?1?log2(2?x),x?1因为函数f(x)??x?1，
2x?1?所以f??2??1?log24?3， 因为log212?log22?1， 所以f?log212??2log212?1?2log26?6，
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所以f??2??f?log212??9. 故答案为：9 【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，对数的运算，要熟记性质法则，属于基础题.
16．已知圆x2?y2?1的圆心为O，点P是直线l:mx?3y?3m?2?0上的动点，若该圆上存在点Q使得?QPO?30?，则实数m的最大值为______. 【答案】4
【解析】根据从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两线均为切线时，夹角最大，利用存在点Q使得?QPO?30?，转化为?CPQ??CPR求解. 【详解】
从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两线均为切线时，夹角最大， 如图所示：
过点P作圆C的切线PR，切点为R，则?CPQ??CPR， 所以sin?CPQ?sin30o?sin?CPR?所以CP?2有解，
所以CPmin?2，即圆心到直线的距离d?CR1， ?CPCP3m?2m?92?2，
解得?8?m?4. 5所以实数m的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
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2024届 四川省泸州市 高三第三次教学质量诊断性考试数学（文）试题（解析版）
