最新九年级数学必考要点分类汇编精华版
专题 几何与函数问题
【知识纵横】
客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。
【典型例题】
【例1】（上海市）已知AB?2，AD?4，?DAB?90，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．域；
（1）设BE?x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义
（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．
A
D
M A
D
B
E
C B
备用图
C
【思路点拨】（1）取AB中点H，联结MH；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。
【例2】（山东青岛）已知：如图（1），在Rt△ACB中，?C?90，AC?4cm，
BC?3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0?t?2），
解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；
2
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图（2），连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP?C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP?C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明
B 理由．
P B P A
A
Q C Q C 图（1） 图（2）P?
【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H．
（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。
【例3】（山东德州）如图（1）,在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
A A M O P N M O B
C B
D
A M N B C O N C P
图（3） 图（1） 图（2）
【思路点拨】（1）证△AMN ∽ △ABC；（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，
OD，先求出OD（用x的代数式表示），再过M点作MQ⊥BC 于Q，证△BMQ∽△BCA；（3）
先找到图形娈化的分界点，x＝2。然后 分两种情况讨论求y的最大值： ① 当0＜x≤2时， ② 当2＜x＜4时。
【学力训练】
1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点
M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；
D C N
（2）求四边形MEFN面积的最大值．
M （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．
A E F B
2、（浙江温州市）如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过
QR?y．点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，
A （1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
D P H Q
R E C B 3、（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．
AD（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求值时,y有最大值，最大值是多少？
F△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．M出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何
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