人教中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶相似含答案

（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；

（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长． 【答案】（1）解：如图，

∵矩形ABCD ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴

，∵ ，

， ，

∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，

，

，

， ； ，

，∵

， 又∵∠BAP =∠FPE，

∽

，∴

， ， ， 即

， ∴

， ， ，∴

，

， ∴

（2）解：∵PF⊥BP ，∴ ∴ ∴ ∴

∵AD//BC ， ∴ ∴ ∵

∴

，

∴

（3）解：∠CPF=∠BPE， ①如图所示，当点F在CE上时，

∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE， ∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP， ∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB， ∴△PAB∽△CPD， ∴PB：CD=AB：PD， ∴PB·PD=CD·AB， ∴x（ ∴x=

）=2×2， ；

②如图所示，当点F在EC延长线上时，

过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF， 则有PC：PM=CH：MH，

∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM， ∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF， ∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM， ∵∠ABD=∠BDC， ∴△PAB∽△MPD， ∴PB：MD=AB：PD，

由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，

易得：DN= PH=2x，FH=

，PN= ，CN=2-

x，

，

，CH=2-

由PB：MD=AB：PD可得MD= 在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC， 由PC：PM=CH：MH可得PM，

，从而可得MN，

在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程， 解得x=

综上：PD的长为：

，

或

【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。根据同角的余角相等可得∠BAF=∠ADB，所以tan∠PBF=tan∠ADB=BF的长，三角形ABF的面积=ABBF；

（2）要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ΔBAP∽ΔFPE，从而得出比例式;

,现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。

,结合已知即可求得

（3）由已知条件过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F可知，点F可能在线段CE上，也可在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。

4．

（1）【探索发现】如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一点O.用”S”表示三角形的面积，有S△ABD：S△ACD＝BD：CD，这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，可得S△ABD：S△ACD＝

，又可证△BDM～△CDN，∴BM：CN＝BD：CD，

∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD.由此可得S△BAO：S△BCO＝________；S△CAO：S△CBO＝________；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝________.

（2）【灵活运用】如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，连接AF，BE和CE，AF分别交BE，CE于点G，M.

若AE＝DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；

（3）若点E，F分别是边AD，CD的中点，且AB＝4.则四边形EMFD的面积是多少？ （4）【拓展应用】如图3，正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P，BG⊥AF于点G，连接OG，请直接写出S△OGP的值.

【答案】 （1）AE：EC；AF：BF；1：6 （2）解：结论：AF＝BE，AF⊥BE. 理由：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵AE＝DF，

∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DAF+∠AEB＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴AF⊥BE.

（3）解：如图2﹣1中，连接DM.

根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称， ∴S△DME＝S△DMF ， ∵AE＝DE，

∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF ， ∵S△ADF＝ ×4×2＝4， ∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF＝ ， ∴S四边形EMFD＝ . 故答案为 .

（4）拓展应用：如图3中，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AC＝BD＝4 ∵DF＝FC， ∴DF＝FC＝2， ∵DF∥AB， ∴

，

，OA＝OB＝OD＝OC＝2

，

∴OP：OB＝OP：OA＝1：3， ∵BG⊥PA，AO⊥OB， ∴∠AGB＝∠AOB＝90°，

∵∠OAP+∠APO＝90°，∠PBG+∠BPG＝90°， ∴∠PAO＝∠PBG，