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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标
1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；
3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；
4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；
5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点
（一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定
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义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域； （三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”； 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集； 6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结； （四）求函数的最值
1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 3、闭区间的连续函数必有最值。
【典型例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。 解：由4x2－9y2＝36可解得：
?2x2?9,x? 3??2x2?9?3y????3?2x2?9 ,x??3?3?。
2x2?9y??3说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，
然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
y?
解：设
k
x，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为
y?780,x?0x。
3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
x?1x2?x?1f()?xx2例3. 已知，试求f(x)。
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t?解：设
x?11x?2x，则t?1，代入条件式可得：f(t)?t?t?1，t≠1。故得：
f(x)?x2?x?1,x?1。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
1f(x)?2f()?3x2?4x?5x例4. （1）已知，试求f(x)；
2f(x)?2f(?x)?3x?4x?5，试求f(x)； （2）已知
1111f()?2f(x)?32?4?5xxx解：（1）由条件式，以x代x，则得，与条件式联立，
?1?284x5f??f?x??2??x2??x3x33。 消去?x?，则得：
2f(?x)?2f(x)?3x?4x?5，与条件式联立，消（2）由条件式，以－x代x则得：52fx?x?4x???f??x?3。 去，则得：
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定
义域由解析式确定，不需要另外给出。
5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；
当x∈（1，2）时：y?x2?1；
当x∈（2，3）时：； 故综上所述，有 考点二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
y??3?x?2?1y?x?2?例6. 求
x?3x?4的定义域。
??x?2?0??x?4，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：
解：由题意知：?{x|x>－2且x≠±4}。
2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例7. 已知函数由下表给出，求其定义域 X 1 2 3 4 35 Y 22 3 14 解：{1，2，3，4，5，6}。
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3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
x?4x?3解：
又由于x2－4x＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：
例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。
－－
解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：21≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［21，
由f(x)?x?3?x?3?g(x)?3?x2?3 ??2,4??。 2?x?42］，故log2x∈［2，2］，解得，故定义域为?－1
4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取
值的不同而不同。 例10. 求函数f(x)?ax?1的定义域。
解：若a?0，则x∈R；
1a1若a?0，则x??；
a若a?0，则x??； 故所求函数的定义域：
1?1???x|x??x|x??当a?0时为R，当a?0时为??，当a?0时为??。
a?a???说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结
果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。 考点三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法
2x?3x?1的值域。 例11. 求函数
2x?32?x?1??111y???2??0x?1x?1x?1，解：因为x?1，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。
y?说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出
现在分母中，再行求解。 2、配方法
例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。 说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。 3、判别式法
x2?2x?3例13. 求函数y?的值域。 24x?5x?64文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
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x2?2x?3y?24x?5x?6可变形为：解：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：
?26?6326?63?y??,?7171??。
说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意
两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。 4、单调性法 例14. 求函数y??2?3，x∈［4，5］的值域。 x?2y??3513x解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，
25?513?,??25?。 所以函数的值域为?5、换元法
例15. 求函数y?2x?41?x的值域。
2＋4，解：令t?1?x?0，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。
6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。
?x,x?[1,2]?2例16. 求函数y??x,x?(2,3]的值域。
?2x?1,x?(3,4]?解：当x∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈(2，3］时，y∈(4，9］；当x∈(3，4］时，y∈(5，7］。综上所述，y∈［1，2］∪(3，9］。 ［本讲所涉及的主要数学思想方法］
1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解，一般情况下都要对参变量进行分类讨论，在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。
2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解，以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理，通常可以考虑换元，以达到化繁为简的目的。
3、方程的思想：对某些函数解析式的求解，以及某些函数值的求解，均渗透了方程的思想，主要思路是改变原来的变量之间的角色，重新确定主元，依此主元构造方程进行求解。
【模拟试题】(答题时间：30分钟)
一. 选择题
1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（ ） A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］
2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（ ）
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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版知识精讲
