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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值 二. 学习目标
1、进一步理解函数的定义域与值域的概念; 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式;
3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值;
4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用;
5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题; 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点
(一)求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;
2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
(3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元法解之;
(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等; 4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定
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义域不一样,则在叙述结论时分别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域; (三)求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;
2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集;若C=B,那么该函数作为映射我们称为“满射”; 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;
4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;
5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集; 6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结; (四)求函数的最值
1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f(xo)=M,则称当x=xo时f(x)取最大值M;当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N,则称当x=x1时f(x)取最小值N;
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题; 3、闭区间的连续函数必有最值。
【典型例题】
考点一:求函数解析式
1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y=f(x)满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。 解:由4x2-9y2=36可解得:
?2x2?9,x? 3??2x2?9?3y????3?2x2?9 ,x??3?3?。
2x2?9y??3说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成的形式。
2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,
然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
y?
解:设
k
x,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s,故所求函数关系式为
y?780,x?0x。
3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
x?1x2?x?1f()?xx2例3. 已知,试求f(x)。
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t?解:设
x?11x?2x,则t?1,代入条件式可得:f(t)?t?t?1,t≠1。故得:
f(x)?x2?x?1,x?1。
说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。
4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。
1f(x)?2f()?3x2?4x?5x例4. (1)已知,试求f(x);
2f(x)?2f(?x)?3x?4x?5,试求f(x); (2)已知
1111f()?2f(x)?32?4?5xxx解:(1)由条件式,以x代x,则得,与条件式联立,
?1?284x5f??f?x??2??x2??x3x33。 消去?x?,则得:
2f(?x)?2f(x)?3x?4x?5,与条件式联立,消(2)由条件式,以-x代x则得:52fx?x?4x???f??x?3。 去,则得:
说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定
义域由解析式确定,不需要另外给出。
5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。
例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程,y表示PA的长,求y关于x的函数。
解:由题意知:当x∈[0,1]时:y=x;
当x∈(1,2)时:y?x2?1;
当x∈(2,3)时:; 故综上所述,有 考点二:求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
y??3?x?2?1y?x?2?例6. 求
x?3x?4的定义域。
??x?2?0??x?4,从而解得:x>-2且x≠±4.故所求定义域为:
解:由题意知:?{x|x>-2且x≠±4}。
2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。 例7. 已知函数由下表给出,求其定义域 X 1 2 3 4 35 Y 22 3 14 解:{1,2,3,4,5,6}。
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3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f(u)的定义域可以确定内函数g(x)的范围,从而解得x∈I1,又由g(x)定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
x?4x?3解:
又由于x2-4x+3>0 ** 联立*、**两式可解得:
例9. 若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域。
--
解:由f(2x)的定义域是[-1,1]可知:21≤2x≤2,所以f(x)的定义域为[21,
由f(x)?x?3?x?3?g(x)?3?x2?3 ??2,4??。 2?x?42],故log2x∈[2,2],解得,故定义域为?-1
4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取
值的不同而不同。 例10. 求函数f(x)?ax?1的定义域。
解:若a?0,则x∈R;
1a1若a?0,则x??;
a若a?0,则x??; 故所求函数的定义域:
1?1???x|x??x|x??当a?0时为R,当a?0时为??,当a?0时为??。
a?a???说明:此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结
果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。 考点三:求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法
2x?3x?1的值域。 例11. 求函数
2x?32?x?1??111y???2??0x?1x?1x?1,解:因为x?1,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}。
y?说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出
现在分母中,再行求解。 2、配方法
例12. 求函数y=2x2+4x的值域。
解:y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。 说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如y=af2(x)+bf(x)+c。 3、判别式法
x2?2x?3例13. 求函数y?的值域。 24x?5x?64文档收集于互联网,已整理,word版本可编辑.
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x2?2x?3y?24x?5x?6可变形为:解:(4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ≥0可解得:
?26?6326?63?y??,?7171??。
说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意
两点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。 4、单调性法 例14. 求函数y??2?3,x∈[4,5]的值域。 x?2y??3513x解:由于函数为增函数,故当x=4时,ymin=;当x=5时,ymax=,
25?513?,??25?。 所以函数的值域为?5、换元法
例15. 求函数y?2x?41?x的值域。
2+4,解:令t?1?x?0,则y=-2t2+4t+2=-(t-1)t≥0,故所求值域为{y|y≤4}。
6、分段函数的值域:应为各区间段上值域的并集。
?x,x?[1,2]?2例16. 求函数y??x,x?(2,3]的值域。
?2x?1,x?(3,4]?解:当x∈[1,2]时,y∈[1,2];当x∈(2,3]时,y∈(4,9];当x∈(3,4]时,y∈(5,7]。综上所述,y∈[1,2]∪(3,9]。 [本讲所涉及的主要数学思想方法]
1、分类讨论的数学思想:对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解,一般情况下都要对参变量进行分类讨论,在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。
2、换元的思想:对复合函数定义域、值域及最值的求解,以及对某些无理函数(根号中含有自变量的函数)的处理,通常可以考虑换元,以达到化繁为简的目的。
3、方程的思想:对某些函数解析式的求解,以及某些函数值的求解,均渗透了方程的思想,主要思路是改变原来的变量之间的角色,重新确定主元,依此主元构造方程进行求解。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
一. 选择题
1、函数y=f(x)的值域是[-2,2],则函数y=f(x+1)的值域是( ) A. [-1,3] B. [-3,1] C. [-2,2] D. [-1,1]
2、已知函数f(x)=x2-2x,则函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3、一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数,那么其解析式和定义域是( )
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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法北师大版知识精讲
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