宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试
数学试题（理科）
本试卷共 4 页，23 题（含选考题）. 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的. 1. 已知集合 A ?{x y ? x2 ? 2x ? 3}, B ?{y y ? 2x ?1, x ? R} ，则 A ? B ??A. [1,3]
B. [1, ??) C. [?1,3) D. [3, ??)
2. 复数 z 满足(1 ? i)z ? 2 ? 2i ，则 z ??A. 1 ? i
1
B. 1 ? i C. 2 ? 2i D. 2 ? 2i
1 1 3
3. 设 x ? ( )， y ? log5 ， z ? log3 ，则
1
2 6 4
开始
S ? 0, n ? 1
A. x ? y ? z
C. z ? x ? y
B. y ? z ? x
D. z ? y ? x
n?2020?
是
否
4. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A. 0
B. 1 C. 3 D. 2 3
5. 已知函数 f (x) ? sin x ? 3 cos x ，下列命题：
① f (x) 关于点( , 0) 对称；② f (x) 的最大值为 2 ；
n??S ? S ? tan
3
n ? n ?1
输出 S
??结束
3
③ f (x) 的最小正周期为 ；④ f (x) 在区间(0,?) 上递增．
其中正确命题的个数是
?2
A． 0
n B．1
n C． 2
n n?1 的前 n 项和为 S ，且 a a ? ， 则 6 ??6. 设正项等比数列?a ?
1 S
D． 3
A. 28 27
B. 28
C.
926
n S3
27
D.
9 8
7. 已知箱中装有 6 瓶消毒液，其中 4 瓶合格品，2 瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液
被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用 A 表示“第一次取到不合格消毒液”，用 B 表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则 P(B | A) ??A. 1 6
B．
1 5
C.
1 4
D．
1 3
8. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤. 问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列. 若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为
3 4 5
B. 斤 C. 斤 D. 斤
5 3 2 4
9. 四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一．四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同 的．．A. 6 斤
颜色．”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂 色，每个区域只使用一种颜色，现有 4 种颜色可供选择（4 种颜色不一定用完） 则满足四色定理的不同的涂色种数为 A． 96 B． 72 C．108 D．144
10. 已知抛物线C ： y? 8x 的焦点为 F ，M 是抛物线C 上一点，N 是圆(x ? 6)? ( y ? 3)? 9 上一点，则| MN | ? | MF | 的最小值为
2
2
2
A． 4 B． 5 C． 8 D．10
11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，M1 为正视图一边的中点且几何体表面上的点 M 、 A 、 B 在正视图上的对应点分别为 M 1 、 A1 、 B1 在此几何体中，平面?过点 M 且与直线 AB 垂直．则平面?截该几何体所得 截面图形的面积为
66B. A.
4 2
C.
32
3
D.
4
??2x2 ? 4x, 0 ? x ? 1
12. 定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (5 ? x) ? f (3? x) ，且 f (x) ? ?，若关于 x
4 ??x ? 2 ln x,1? x ?2
的不等式 f (x) ? (a ?1) f (x) ? a ? 0 在[?20, 20] 上有且仅有15 个整数解，则实数 a 的取值范围是
(?1, 2ln 2 ? 2] A．
(2ln 3? 3, 2ln 2 ? 2] C．
B．[2ln 3? 3, 2ln 2 ? 2) D．[2 ? 2ln 2,3? 2ln 3)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 填错位置，
书写不清，模棱两可均不得分. ?
?
? ? ? a ? ?1, 2? a ，则 m ???． b ? ?2, m? 13．若向量 ， ，且a ? 2b ?
? ? 14. 某种品牌汽车的销量 y （万辆）与投入宣传费用 x （万元）之间具有线性相关关系，样本数据如下表
所示：
宣传费用 x 销量 y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 ? 经计算得回归直线方程 y ? b?x ? a? 的斜率为0.7 ，若投入宣传费用为 8 万元，则该品牌汽车销量的
预报值为 万辆．
15. 如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，PA ? 平面 ABCD ，ABC D 是菱形，?ABC ?
3
（1）当点 时，AD ? EC ； PD 上的一动点．E 满足 PA ? AB ? 2 3 ，E 是
（2）在（1）的条件下，三棱锥 E ? ACD 的外接球的体积为 ．
2
??y2
16 ．已知双曲线C : x ?
2
????GF1 GF2 ?????
GH 与 x 轴的交点为 G 点的坐标 P( 3 , 0) ，则 足 OH ? OG ? ?( ???? ?????) ??? 0? ，且直线
GF1 ??3
GF为 ．
? 1 的左，右焦点分别为 1 、 2 ，点G 位于第一象限的双曲线上，若点 H 满
F F
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ? 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．
17.（本题满分 12 分）在?ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，且 3(a ? b cos C) ? c sin B ．
（1） 求角 B 的大小；
（2） 若?ABC 的面积为 2 3 , b ? 2 6 ，求?ABC 的周长．
18．（本题满分 12 分）如图 1，直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC ， AB ? AD ， E 、 F 分别是 AD 和 BC 上的点，且 AB∥ EF ，AE ? 2 ，AB ? DE ? CF ? 3 ，沿 EF 将四边形 ABFE 折起，如图 2，使 AE
1
2
与 FC 所成的角为60．
?
（1） 求证： BC∥ 平面 AED ；
（2） M 为CF 上的点， FM ? ?FC (0 ? ?? 1) ，若二面角 B ? MD ? E 的余弦值为
7 7
，求?的值．
19．（本题满分 12 分）已知 A1 、 A2 分别是离心率
e ?
P 是椭圆 E 的上顶点，且 PA1 ? PA2 ? ?1 ． （1） 求椭圆 E 的方程；
（2） 若动直线l 过点(0, ?4) ，且与椭圆 E 交于 A 、B 两点，点 M 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AM 恒过定点．
y2 1(a b 0)
的椭圆 E ： 2 ? 2 ? ? ??的左右顶点，
ab2
2
x2
20. （本题满分 12 分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）. 潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．
（1） 求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这 500
名患者中“长潜伏者”的人数；
（2） 为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名
患者中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；
短潜伏者 长潜伏者 60 岁及以上 60 岁以下 合计 合计 90 140 300 （3） 研究发现，有 5 种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有 2 种特别有效，现在要通过逐一试
验直到把这 2 种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是 500 元，设所需要的试验费用为 X ，求 X 的分布列与数学期望 X ． 附表及公式：
?
P(K 2?k ) 0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 K 2 ??
n ?ad ? bc?2
k0 ?a ? b??c ? d ??a ? c??b ? d ??21．（本题满分 12 分）已知函数 f (x) ? lnx ? ax ? b ．
（1） 求函数 f (x) 的极值；
b （2） 若不等式 f (x)?? ex 恒成立，求 的最小值（其中 ． e 为自然对数的底数）a ? e
（二）选考题．共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题满分 10 分）
??
x ? ?2 ???
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为??
? y ? ?4 ????
2 t
2 ( t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以 x 轴 2 t2
的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为?sin2 ?? 2cos?．
（1） 写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
MQ MP
（2） 已知定点 M (?2, ?4)，直线l 与曲线C 分别交于 P、Q 两点，求
? MP MQ 的值．
23. [选修 4-5：不等式选讲]（本题满分 10 分）
2 2 2
已知正实数 a 、b 、c 满足 a ? b ? c ? 9 ，且 ? ? 的最小值为t ．
a b c
（1） 求t 的值；
?
?
2
（2） 设 f ( x) ? x ? 2 ? t x ? 3 ，若存在实数 x ，使得不等式 f (x) ? m? 2m ? 3 成立，求实数 m 的取
值范围．
宜昌市2020届高三年级4月线上统一调研测试理科数学试卷试题
