五年级数学（下）第三单元整理与复习
整理教师：刘新民
一、基础知识整理
（一）长方体和正方体的认识
1、长方体的特征：有6个面（6个面都是长方形或有4个面是长方形，2个面是正方形），相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。 2、 正方体的特征：正方体的6个面是完全相同的正方形；12条棱的长度相等；有8个顶点。
3、长方体长、宽、高的意义：相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。一个长方体有4条长，4条宽和4条高。 注意：
1. 正方体是特殊的长方体。
2. 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4；正方体的棱长总和=棱长×12。 （二）长方体和正方体的表面积
1、表面积的意义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、正方体的平面展开图
（1）正方体的平面展开图的形式。
形式一：上面有1个正方形，中间有4个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称作（1、4、1）形展开图〕
形式二：上面有2个正方形，中间有3个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称为（2、3、1）形展开图〕
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形式三：上、中、下各有2个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称为（2、2、2）形展开图〕
形式四：仅有2行，每行有3个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。如下图所示〔称为（3、3）形展开图〕
（2）、正方体平面展开图的特点：
①、当我们从正方体的某个顶点出发，最多只能观察到三个面，这三个面中必包括三组相对面中的各一个，且两个相对的面不能被同时看到。 ②、平面展开图形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连。 ③、正方体的平面展开图中一个公共顶点处最多只能出现三个正方形，与一个正方形相邻的正方形最多只能有四个。
④、正方体中原来处于相对位置上的两个面，展开后的正方形无公共顶点和公共边；反之，有公共顶点或公共边的两个正方形折叠成正方体后，必成为相邻面，不可能成为相对面。
注意：凡是出现“田”字形、“凹”字形、五连长链和六连长链均不是正方体的平面展开图。
（3）、巧记正方体展开图的儿歌。
中间4个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便。 两两相连各错一，三个两排一对齐。要找两个相对面，切记相隔一个面。 3、长方体表面积的计算方法。
（1）长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2或长方体的表面积=底面周长×高+长×宽×2。
（2）用字母表示为S=（ab+ah+bh）×2或S=C底面h+2ab
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4、正方体表面积的计算方法： （1）正方体的表面积=棱长×棱长×6 （2）用字母表示为S=6ａ
注意：求水池、无盖水桶、刷房子的墙壁等这些物体的表面积时，要注意面的个数。
（三）长方体和正方体的体积
1、体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、体积单位：常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米；用字母分别表示为ｍ3、dm3、㎝3。
3、体积单位间进率：1ｍ3=1000dm3、1dm3=1000㎝3。 4、长方体和正方体的体积计算公式。
（1）长方体的体积=长×宽×高；用字母表示为V=abh。
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长；用字母表示为V=ａ3（其中ａ3读作“ａ的立方” ，表示3个ａ相乘）。
（3）长方体（或正方体）统一的体积=底面积×高；用字母表示为V=sh。 5、容积的意义：容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
6、容积的计算方法：长方体、正方体等规则容器容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器的里面测量长、宽、高。 7、容积单位和容积单位之间的进率：1L=1000ｍL。
8、容积单位和体积单位之间的换算：1L=1dm3；1mL3=1㎝3。 9、不规则的物体的体积的测量和计算方法：
求形状不规则的物体的体积可以用排水法，上升的那部分水的体积就是形状不规则的物体的体积。用字母来表示为V不规则物体=S二、基本方法复习
1、画图法：是指用实物简图、示意图、线条图、线段图等直观图形表示题中的数量关系，使题意形象具体，一目了然，以便较快找到解题途径的解题策略。它对解答条件隐蔽、复杂的问题，可以起到化难为易的作用。
例题：用三个完全相同的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是350㎝2，则每个正方体的表面积是多少平方厘米？
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底×h上升。
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分析与解答：根据题意画出示意图，结合已知条件进行观察、分析。（如图所示）
从图上可以看出，三个正方体拼成一个长方体后，表面积比原来少了4个面，现在长方体的面有3×6-4=14（个）正方体的面，那么正方体的每个面的面积是350÷14=25（㎝2），所以每个正方体的表面积是25×6=150（平方厘米）。 2、等积变形法：是指几何形体的形状发生变化后，变化后的物体和原来物体相比，体积与原来相等。
例题：将棱长分别为6㎝和8㎝的两个正方体铁块熔铸成一个长方体，已知这个长方体的长是13㎝，宽是7㎝，求它的高是多少厘米？
分析与解答：将两个正方体熔铸成一个长方体后，前后的体积没有变，即两个正方体体积和等于熔铸后长方体的体积，两个正方体的体积和为6×6×6+8×8×8=728（㎝2），也就间接求得长方体的体积是728㎝2，再根据长方体的体积=长×宽×高求出长方体的高，所以这个长方体的高为728÷13÷7=8（厘米）。 同步练习：
1. 用五个完全相同的正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积是176㎝2，则每个正方体的表面积是多少平方厘米？
2. 有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24㎝2、54㎝2和294㎝2，现将这三个铁块熔铸成一个大正方体，求大正方体的体积是多少？
三、重要考点复习。 （一）填一填。
1.一个长方体的长是8dm，高和宽都是5dm，这个长方体有（ ）个面是正方形，每个正方形的面的面积是（ ）dm2,有（ ）个面是长方形，每个长
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方形的面的面积是（ ）dm2。
2. 一个正方体的棱长总和是24㎝，它的表面积是（ ），体积是（ ）。 3. 把一个表面积为96dm2的正方体切割成两个完全相同的长方体，表面积增加了（ ）dm2。
4. 一根铁丝长36㎝，如果做成一个正方体框架，棱长是（ ）㎝，如果做成一个高3㎝，宽2㎝的长方体的框架，长是（ ）㎝。
5. 一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。
6. 一块长方体形状的蛋糕长12㎝，宽6㎝，高5㎝，切一刀，表面积最少增加（ ）㎝2。
7. 在（ ）里填上适当的数或单位名称。
（1）4.5㎝3=（ ）dm3 750dm3=( )m3 8.27L=( )mL
12dm3=( )㎝3 18L=( )mL 57m3=( )L
0.009m3=( )dm3=( )。 （2）一个铝锅能盛水5（ ）。 （3）一瓶眼药水约有10（ ）。
（4）一个集装箱能容纳货物60（ ）。 （5）一部受机的体积约是28（ ）。 （二）判断。
1. 体积单位都比面积单位大。（ ） 2. 电冰箱的体积就是它的容积。（ ） 3. 体积相等的长方体，形状不一定相同。（ ）
4. 一个长方体的长、宽、高同时扩大到原来的3倍，体积也扩大到原来的3倍。（ ） （三）解决问题。
1. 小明的爷爷准备做一个无盖的正方体鱼缸，棱长为4dm，请你帮忙算一算，至少要用多少平方分米的玻璃？
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