第43讲 利用空间向量求空间角和距离
思维导图
知识梳理 1．异面直线所成角
|a·b|
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
|a||b|2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，|a·n|
则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝
|a||n|
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就―→―→
是向量AB与CD的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离
|n1·n2|，如图(2)(3)． |n1||n2|
―→
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2. (2)点到平面的距离
―→
―→|AB·n|
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝.
|n|
题型归纳 题型1 异面直线所成的角
【例1-1】（2020?济南模拟）已知直角梯形ABCD中，AD//BC，AB?BC，AB?AD?1BC，将直角梯2形ABCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90?，形成如图所示的几何体，其中M为CE的中点． （1）求证：BM?DF；
（2）求异面直线BM与EF所成角的大小．
【分析】（1）建立空间坐标系，得出BM，DF的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直； （2）计算BM和EF的夹角，从而得出异面直线所成角的大小． 【解答】（1）证明：
AB?BC，AB?BE，BCBE?B，
?AB?平面BCE，
以B为原点，以BE，BC，BA为坐标轴建立空间坐标系B?xyz，如图所示： 设AB?AD?1，则D(0，1，1)，F(1，0，1)，B(0，0，0)，M(2，2，0)，
?BM?(2，2，0)，DF?(1，?1，0)，
?BMDF?2?2?0?0，
?BM?DF．
（2）解：E(2，0，0)，故EF?(?1，0，1)，
BMEF?21???，
2|BM||EF|2?2?cos?BM，EF???设异面直线BM与EF所成角为?，则cos??|cos?BM，EF??|1， 2故???3．
【例1-2】（2020?北京模拟）在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，AD?AB，PA?AD?2，AB?BC?1，Q为PD中点．
（Ⅰ）求证：PD?BQ；
（Ⅰ）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值．
【分析】(I)建立空间直角坐标系，只要证明PDBQ?0，即可证明结论． （Ⅰ）CP?(?1，?1，2)，利用向量夹角公式即可得出．
【解答】(I)证明：如图所示，A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，Q(0，1，1)，C(1，1，0)，
PD?(0，2，?2)，BQ?(?1，1，1)，
由PDBQ?2?2?0，
?PD?BQ，
?PD?BQ；
（Ⅰ）解：CP?(?1，?1，2)，
cos?CP，BQ??23?6?2． 32． 3?异面直线PC与BQ所成角的余弦值为
【跟踪训练1-1】（2020?运城三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，且AB?AD?BD?2，点E，F为平面ABCD外两点，EF//AC且EF?2AE?23，?EAD??EAB． （1）证明：BD?CF；
（2）若?EAC?60?，求异面直线AE与DF所成角的余弦值．
【分析】（1）设BD与AC相交于点G，连接EG，从而BD?AC，推导出?EAD??EAB，从而BD?平面ACFE，由此能证明BD?CF．
（2）过G作AC的垂线，交EF于M点，分别以GA，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系G?xyz，利用向量法能求出异面直线AE与DF所成角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：设BD与AC相交于点G，连接EG， 由题意可得四边形ABCD为菱形， 所以BD?AC，DG?GB，
在?EAD和?EAB中，AD?AB，AE?AE，?EAD??EAB， 所以?EAD??EAB，
所以ED?EB，所以BD?EG， 因为ACEG?G，所以BD?平面ACFE，
因为CF?平面ACFE，所以BD?CF．
（2）解：如图，在平面AEFC内，过G作AC的垂线，交EF于M点， 由（1）可知，平面ACFE?平面ABCD，
所以MG?平面ABCD，故直线GM，GA，GB两两互相垂直， 分别以GA，GB，GM为x，y，z轴建立空间直角坐标系G?xyz， 因为?EAC?60?，
则A(3,0,0)，D(0，?1，0)，E(所以AE?(?33333,0,)，F(?,0,)， 222233333,0,)，DF?(?,1,)， 2222异面直线AE与DF所成角的余弦值为：
99?0?||AEDF|4?330． |cos?AE,DF?|??420|AE||DF|310|
【名师指导】
用向量法求异面直线所成角的一般步骤
第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)
