高中导数与函数知识点总结归纳
、基本概念 1. 导数的定义:
设x0是函数y f (x)定义域的一点，如果自变量 x在x0处有增量
x，则函数值 y也引起相应的增量 f (x)在点X0到X0
y
x之间的平均变化
f(X0
x) f(X0)；比值 丄 丄l^0——x) f(x°)称为函数 y
X X
x 0 x x 0
女口果极限 lim y lim 丄(X ------------- X)—f (X0)存在，则称函数 率；
x
f(X。)
X Xo
f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做
f (x)在x0处的导数。
f x在点x0处的导数记作y
lim0
X)
2导数的几何意义：(求函数在某点处的切线方程)
函数y
f (Xo)
f (x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线
y f(x)在点(X0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲
线y f (x)在点P(x0, f(x))处的切线的斜率是f'(x°)，切线方程为y y° f'(x)(x X0).
3 ?基本常见函数的导数：
①C 0; ( C为常数) ③(sin x) cosx; ⑤(e) e; ⑦ In x -; 二、导数的运算
1.导数的四则运算：
(或差)，
法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和
n n 1
② x nx ; ④(cosx) sinx; ⑥(ax)
xx
ax I na；
1
⑧ loga X - log a e X
x
即： f X g X f X g X
，加上第一个
法则2 :两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数
函数乘以第二个函数的导数，即：
fxgx fxgx fxgx
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
(Cf (x))' Cf '(x). ( C为常数)
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方:
fxgx fxgx
2
2. 复合函数的导数
形如 y f[ (x)] 的函数称为 复合函数 。法则： f [ (x)] f ( )* (x) .
三、导数的应用 1. 函数的单调性与导数
(1)设函数 y f (x) 在某个区间 (a,b) 可导，
如果 f ' (x) 0，则 f (x) 在此区间上为增函数； 如果f'(x)
0,则f(x)在此区间上为减函数。
0，则 f(x) 为常函数 。
(2)如果在某区间内 恒有 f ' (x)
2 ?函数的极点与极值： 当函数f (x)在点x0处连续时，
① 如果在x0附近的左侧f'(x) > 0,右侧f'(x) V 0，那么f(x0)是极大值；
② 如果在X0附近的左侧f'(X)V 0,右侧f'(x) > 0，那么f(X0)是极小值.
3 ?函数的最值：
一 般 地 ， 在 区 间 [a,b] 上 连 续 的 函 数 f (x) 在 [a,b] 上 必 有 最 大 值 与 最 小 值 。 函 数 f(x)在区
间[a,b]上的最值只可能在区间端点及极值点处取得。
求函数f (x)在区间[a,b]上最值 的一般步骤：①求函数f (x)的导数，令导数f'(x) 0解出方程的跟
②在区间[a,b]列出x, f'(x), f (x)的表格，求出极值及f(a)、f (b)的值；③比较端点及极值点处的函数值的大 小，从而得出函数的最值。
4 ?相关结论总结：
① 可导的奇函数函数其导函数为偶函数 . ② 可导的偶函数函数其导函数为奇函数 .
四、函数的概念
1. 函数的概念
①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯
一确定的数f (x)和它对应，那么这样的对应(包括集合 A， B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B
的一个函数，记作 f : A B ?
② 函数的三要素：定义域、值域和对应法则.
③ 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
五、函数的性质
1.函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
性质
如果对于属于定义域 I内某 个
图象 判定方法 (1) 利用定义 (2) 利用已知函数的 区间上的任意两个自变量 的值xi、X2,当xi < x 2时，者B 有f(x iy y=f(X) f(xi ) f(Xa ) 单调性 (3) 利用函数图象(在 )vf(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数. o Xi X2 x 某个区间图 象上升为增) 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I内某 个区间上的任意两个自变量 的值Xi、X2，当xi < X2时，都 (4) 利用复合函数 (1) 利用定义 (2) 利用已知函数的 单调性 y y=f(X) h- f(X「 2(3) 利用函数图象(在 有f(x i)>f(x 2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数. f(x ) o Xi X2 X 某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数 (4) 利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数, 减函数减去一个增函数为减函数.
(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结
