第三届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)+部分答案
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第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（非数学类，2012）
本试卷共2页，共6题。全卷满分100分。考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.
sin2x?x2cos2x(1)lim x?0x2sin2xsin2x?x2cos2xsin2x?x2?x2?x2cos2x解：lim?limx?0x?0x2sin2xx4
(sinx?x)(sinx?x)(1?cosx)(1?cosx)112?lim?lim??g2?g2?x?0x?0x4x2623??11?1?(2) lim??x3?x?tan?ex?1?x6?
x???2x????t23t6(1??ttant)e?t?11?111?1x1?令t?x3?2解:limx??1?2?3tan?e?1?6?????limx???t?0xx?x?t3??2x t23t2322t622t6(1??ttant)e?t?1(1??ttant)e?t?122=lim=lim???32t?0t?02t??tt3?(1??t3tant)et+t6?1?2??(3) 设函数f(x,y)有二阶连续偏导数, 满足fx2fyy?2fxfyfxy?fy2fyy?0且
?2yfy?0,y?y(x,z)是由方程z?f(x,y)所确定的函数. 求2
?x解：依题意有，y是函数，x、z是自变量将方程z?f(x,y)两边同时对x求导0=fx?fy2f?y?y???x?x?xfyfy(fxx?fyx?y?y)?fx(fyx?fyy)?x?xfy2fxfyfy2fxx?2fxfyx?fx2fyyfy3
fx?y??(?)??2?x?xfyfyfxx?fxfyx?fxfyx?fxfyy??fy2???01x?1(4) 求不定积分I??(1?x?)exdx
x11x?x?1x?1111解：I??(1?x?)exdx=?x(?1?2)exdx??[1?(1?2)]exdxxxxx111x?x?x?1x?1xxx ??edx??(1?2)edx??edx??xdexx??ex?1xdx?xex?1x??ex?1xdx?xex?1x?C(5) 求曲面x2?y2?az和z?2a?x2?y2(a?0)所围立体的表面积
二、（本题13分）讨论?得分
三、（本题13分）设f(x)在(??,??)上无穷次可微，并且满足:存在M?0，使得f(k)(x)?M，?x?(??,??),(k?1,2L),且f((??,??)上，f(x)?0
f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x?L?x?L2!n! nx?M(x?L??L)?M(ex?1)n!??0xdx的敛散性，其中?是一个实常数. 2?2cosx?xsinx1)?0,(n?1,2L)求证：在2n
四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）
x2y2设D为椭圆形2?2?1(a?b?0)，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点
ab(?c,0)(其中c2?a2?b2)垂直于薄板的旋转轴.
1. 求薄板D绕l旋转的转动惯量J；
2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.
五、（本题12分）设连续可微函数z?f(x,y)由方程F(xz?y,x?yz)?0（其中
F(u,v)?0有连续的偏导数）唯一确定, L为正向单位圆周. 试求：
22I??(xz?2yz)dy?(2xz?yz)dx ?L解：由格林公式
22I??(xz?2yz)dy?(2xz?yz)dx???(?LD?Q?P?)d??x?y?z?z?z?z?z?z?2y)?(2x?z2?2yz)d????2z2?2(xz?y)?2(x?yz)d??x?x?y?y?x?yDD又：连续可微函数z?f(x,y)由方程F(xz?y,x?yz)?0 ???(z2?2xz两边同时对x求偏导数：F1(z?x两边同时对y求偏导数：F1(x代入上式：
zF1?F2?z?z?z)?F2(1?y)?0?? ?x?x?xyF2?xF1F?zF2?z?z?z?1)?F2(?z?y)?0??1 ?y?y?xxF1?yF2I???2z2?2(xz?y)D2zF1?F2F?zF2?2(x?yz)1d?yF2?xF1xF1?yF2
xz2F1?xzF2?yzF1?yF2xF1?xzF2?yzF1?yz2F2?2??z??d?yF?xFxF?yF2112D???z2?DDxzF1?yF2?xF1?yzF2(xF1?yF2)z?yF2?xF1d??2??z2?d?yF2?xF1yF?xF21D2222??d??2?
六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）
??y??xy?xex(1)求解微分方程?
??y(0)?12(2)如y?f(x)为上述方程的解，证明lim?n??n? f(x)dx?01?n2x221nelim?dx
22n??01?nx1x2
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