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作M?N?OE于点N，交OF于点G，交AM于点H，
?M?N为点M?到OE的最短距离，即M?N?GM?GN．
在Rt△M?HM中，?MM?N?30?，MM??6，
?MH?3．?NE?MH?3．
?DE?3，?N，D两点重合，即M?N过D点．
在Rt△M?DM中，DM?23，?M?D?43． ·············································（10分） 在线段AB上任取一点G?，过G?作G?N??OE于点N?，连接G?M?，G?M． 显然G?M?G?N??G?M??G?N??M?D．
?把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD线路铺设的长度之和最小．
即最小值为GM?GD?M?D?43． ································································（11分） 综上，?3?23?43，?供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短． ········（12分）
27. 解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm， ∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm ∴AP＝（5－t）cm，
∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，
∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝∴当t为
107107
秒时，PQ∥BC
………………2分
（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC ∴AQ∶QD＝AB∶BC ∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝∴△APQ的面积：
1265t
12×AP×QD＝（5－t）×
35t
265t
∴y与t之间的函数关系式为：y＝3t?………………5分
（3）由题意：
当面积被平分时有：3t?35t＝
212×
12×3×4，解得：t＝5?25 当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1 ∴不存在这样t的值
………………8分
（4）过点P作PE⊥BC于E 易证：△PAE∽△ABC，当PE＝
12QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形
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∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝∵QC＝4－2t，∴2×∴当t＝
10945t
45t＝4－2t,解得：t＝
109
时，四边形PQP′C为菱形
89此时，PE＝，BE＝
23，∴CE＝
73
………………10分
827250522在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝PE?CE＝()?()＝
9395059∴此菱形的边长为cm ………………12分
1428. 解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y?x中，得y＝－2.
∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）
从而k＝8×2＝16
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上, ∴mn＝k，B（－2m，－
n2），C（－2m，－n），E（－m，－n）
12S矩形DCNO＝2mn＝2k，S△DBO＝
mn＝
12k，S△OEN＝
12mn＝
12k.
∴S矩形OBCE＝S矩形DCNO―S△DBO―S△OEN＝k.∴k＝4. 由直线y?14x及双曲线y?4x，得A（4，1），B（－4，－1）
∴C（－4，－2），M（2，2）
设直线CM的解析式是y?ax?b，由C、M两点在这条直线上，得
??4a?b??22，解得a＝b＝ ?2a?b?23?∴直线CM的解析式是y＝
23x＋
23.
yQDBC（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1
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MAM1A1xOEN
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设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是p?MAMP?A1M1M1O?a?mm，
同理q?MBMQ?m?am
∴p－q＝
a?mm－
m?am＝－2
29. 解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为?302?152?31，每
21个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求． ····················· （3分）（图案设计不唯一） （2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?DG?CG．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设AE?x，则ED?30?x，DH?15． 由BE?DG，得x2?302?152?(30?x)2，
22560154?x??，?BE??15?2?30?30.2?31， ???4?2即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． ············································· （6分） 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE?31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE??DE?(30?2231?30?2261，DE?30?61，
61)?15≈26.8?31，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要
求．······················································································································· （6分） 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直
?O与AD交于E，径为31的?O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设?O经过A，B，连BE，则AE?31?30?2261?15?12AD，这说明用两个直径都为31的圆不能完
全覆盖正方形ABCD．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．··································· （8分）
评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．
B
C
B
A
D
A E O 图1
F 图2
D H
A E D B O
F 图3
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30解：（1）OH?1；k?33，b?233．
（2）设存在实数a，使抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
且这样的三角形最多只有两类，一类是?以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，
以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形． ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED?DN． 由抛物线y?a(x?1)(x?5)得：M(?1，0)，N(5，0)．
?D(2，0)，?ED?DN?3．?E的坐标为(2，3)．
把E(2，3)代入抛物线解析式，得a???抛物线解析式为y??1313．
y (x?1)(x?5)．
即y??13x?243x?53．
P A C H M O B ②若DN为等腰直角三角形的斜边， 则DE?EN，DE?EN．
?E的坐标为(3.5，1.5)．
?2 D
N x
把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a???抛物线解析式为y??2929．
29x?2(x?1)(x?5)，即y??13x?289x?109
当a??13时，在抛物线y??43x?53上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上
还有满足条件的E点，不妨设为E?点，那么只有可能△DE?N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E?(3.5，1.5)，显然E?不在抛物线y??y??13x?29213x?243x?53上，因此抛物线
43x?53上没有符合条件的其他的E点．
29x?2当a??时，同理可得抛物线y??89x?10913上没有符合条件的其他的E点．
x?2当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y??43x?53时，
?△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，??GNP??PBO?45?．
又??NPG??BPO，?△NPG∽△BPO．
?PGPO?PNPB，?PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102．
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当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y??29x?289x?109时，
同理可证得：PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102
31. 解：（1）如图所示： ····························································································· 4分
B C B C
A ?80 A ?100
（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分） （2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； ········································ 6分 若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．················································································································ 8分 （3）此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）． ······················································ 10分 M G 理由如下：
由?HEF??HEG??GEF?47.8?35.1?82.9，
?EHF?50.0，?EFH?47.1，
?????H 49.8 ?32.4 53.8 ??50.0 ?44.0 47.1 ??F
故△EFH是锐角三角形，
所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，
设此外接圆为?O，直线EG与?O交于点E，M， 则?EMF??EHF?50.0?53.8??EGF．
故点G在?O内，从而?O也是四边形EFGH的最小覆盖圆． 所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求． ························································································ 12分
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??? 47.835.1 ?E
2011中考数学专题复习 - 压轴题（含答案）
